Calcule a integral tripla utilizando mudança de variáveis.
(d) integral triplaE raizx^2+y^2 d V, onde E é o sólido no primeiro octante, limitado pelo cilindro x^2+y^2=1 e pelo plano z=x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo usando mudança de variáveis. A gente precisa calcular a integral tripla , onde é o sólido no primeiro octante, limitado pelo cilindro e pelo plano . Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar a conta, já que temos um cilindro e uma expressão envolvendo .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são coordenadas cilíndricas. Elas são uma forma de representar pontos no espaço usando um raio x = r costheta, y = r sintheta, z = z , um ângulo dV = r , dr , dtheta , dz e uma altura . A relação entre as coordenadas cartesianas e cilíndricas é:
E o volume diferencial em coordenadas cilíndricas é:

Passo 3

Vamos reescrever a integral em coordenadas cilíndricas. A expressão integral triplaE r cdot r , dr , dtheta , dz = integral triplaE r^2 , dr , dtheta , dz simplifica para em coordenadas cilíndricas. Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração. Como 0 <= theta <= pi2 está no primeiro octante, temos:
0 <= r <= 1
O cilindro 0 <= z <= r costheta em coordenadas cilíndricas é simplesmente . Então, o raio vai de 0 a 1:
O plano em coordenadas cilíndricas é . Como estamos no primeiro octante, o vai de 0 até :

Passo 5

Agora, podemos escrever a integral com esses limites:
integral0^pi2 integral0^1 integral0^r costheta r^2 , dz , dr , dtheta
Vamos resolver a integral da parte mais interna primeiro, que é em relação a integral0^r costheta r^2 , dz = r^2 cdot z |0^r costheta = r^2 cdot (r costheta) = r^3 costheta :

Passo 6

Agora, a integral fica:
integral0^pi2 integral0^1 r^3 costheta , dr , dtheta
Vamos integrar em relação a integral0^1 r^3 , dr = r^44 |0^1 = 14 :
14 integral0^pi2 costheta , dtheta
Então, a integral se simplifica para:

Passo 7

Agora, integramos em relação a integral0^pi2 costheta , dtheta = sintheta |0^pi2 = sin(pi2) - sin(0) = 1 - 0 = 1 :

Resposta

Multiplicando tudo, temos:
14 times 1 = 14
Portanto, o valor da integral tripla é .

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