Calcule a integral tripla utilizando mudança de variáveis.
(d) , onde é o sólido no primeiro octante, limitado pelo cilindro e pelo plano .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo usando mudança de variáveis. A gente precisa calcular a integral tripla , onde é o sólido no primeiro octante, limitado pelo cilindro e pelo plano . Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar a conta, já que temos um cilindro e uma expressão envolvendo .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são coordenadas cilíndricas. Elas são uma forma de representar pontos no espaço usando um raio , um ângulo e uma altura . A relação entre as coordenadas cartesianas e cilíndricas é:
E o volume diferencial em coordenadas cilíndricas é:
Passo 3
Vamos reescrever a integral em coordenadas cilíndricas. A expressão simplifica para em coordenadas cilíndricas. Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração. Como está no primeiro octante, temos:
O cilindro em coordenadas cilíndricas é simplesmente . Então, o raio vai de 0 a 1:
O plano em coordenadas cilíndricas é . Como estamos no primeiro octante, o vai de 0 até :
Passo 5
Agora, podemos escrever a integral com esses limites:
Vamos resolver a integral da parte mais interna primeiro, que é em relação a :
Passo 6
Agora, a integral fica:
integral0^pi2 integral0^1 r^3 costheta , dr , dtheta
Vamos integrar em relação a integral0^1 r^3 , dr = r^44 |0^1 = 14 :
14 integral0^pi2 costheta , dtheta
Então, a integral se simplifica para:
Passo 7
Agora, integramos em relação a integral0^pi2 costheta , dtheta = sintheta |0^pi2 = sin(pi2) - sin(0) = 1 - 0 = 1 :