Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral definida de
de
até
. Estamos lidando com cálculo integral, especialmente integrais que envolvem funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e entender como manipular expressões com raízes e valores absolutos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
. Sabemos de uma identidade trigonométrica que diz:
Essa identidade é super útil porque transforma a expressão em termos de seno, que é mais fácil de lidar quando estamos integrando.
Passo 3
Agora, substituímos
por
na integral:
Podemos tirar a constante
de fora da raiz:
Passo 4
A raiz quadrada de
é o valor absoluto de
, ou seja,
. Então, a integral fica:
Passo 5
Observamos que a função
é par, o que significa que ela é simétrica em relação ao eixo y. Portanto, podemos simplificar a integral multiplicando por 2 e integrando de 0 a
:
Passo 6
Agora, vamos integrar
. A integral de
em relação a
é
:
Passo 7
Aplicamos os limites de integração:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
O valor da integral é
.