Calcule integral-pi / 2^pi / 2 raiz1-cos 2 t d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral definida de de até . Estamos lidando com cálculo integral, especialmente integrais que envolvem funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e entender como manipular expressões com raízes e valores absolutos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz: 1 - cos 2t = 2 sin^2 t . Sabemos de uma identidade trigonométrica que diz:
Essa identidade é super útil porque transforma a expressão em termos de seno, que é mais fácil de lidar quando estamos integrando.

Passo 3

Agora, substituímos integral-pi2^pi2 raiz2 sin^2 t , dt por raiz2 integral-pi2^pi2 raizsin^2 t , dt na integral:
Podemos tirar a constante de fora da raiz:

Passo 4

A raiz quadrada de raiz2 integral-pi2^pi2 |sin t| , dt é o valor absoluto de , ou seja, . Então, a integral fica:

Passo 5

Observamos que a função 2 raiz2 integral0^pi2 sin t , dt é par, o que significa que ela é simétrica em relação ao eixo y. Portanto, podemos simplificar a integral multiplicando por 2 e integrando de 0 a :

Passo 6

Agora, vamos integrar 2 raiz2 [ -cos t ]0^pi2 . A integral de em relação a é :

Passo 7

Aplicamos os limites de integração:
2 raiz2 ( -cos pi2 + cos 0 )
Sabemos que 2 raiz2 ( -0 + 1 ) = 2 raiz2 times 1 = 2 raiz2 e , então:

Resposta

O valor da integral é .

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