Confirme que o campo de forças
é conservativo em alguma região aberta conexa contendo os pontos
e
e, então, calcule o trabalho realizado pelo campo de forças numa partícula que se move de
até
, ao longo da curva lisa arbitrária.
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para confirmar se o campo de forças
é conservativo em uma região aberta e conexa que contém os pontos
e
. Depois, precisamos calcular o trabalho realizado por esse campo quando uma partícula se move de
até
por qualquer curva lisa. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e trabalho de campos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo conservativo. Um campo de forças
é conservativo se ele pode ser derivado de uma função potencial
, ou seja,
. Isso implica que o trabalho realizado pelo campo ao mover uma partícula depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho seguido.
Passo 3
Para verificar se
é conservativo, consideramos suas componentes:
Aqui,
e
. Uma condição necessária para que
seja conservativo é que as derivadas parciais cruzadas sejam iguais, ou seja:
Calculando:
Como
, o campo
é conservativo na região considerada.
Passo 4
Agora que sabemos que
é conservativo, podemos encontrar a função potencial
tal que
. Isso significa que:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma função de
que surge da constante de integração.
Passo 5
Para encontrar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que
, então
é uma constante. Podemos escolher
sem perder generalidade.
Portanto, a função potencial é:
Passo 6
Com a função potencial encontrada, o trabalho realizado ao mover a partícula de
a
é dado pela diferença dos valores de
nos pontos finais:
Calculando cada termo:
Então:
Resposta
O trabalho realizado pelo campo de forças ao mover a partícula de
até
é
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral de superfície.
, onde
é a porção do cone
entre os planos
e
.
Calcule
, sendo
e