Confirme que o campo de forças é conservativo em alguma região aberta conexa contendo os pontos e e, então, calcule o trabalho realizado pelo campo de forças numa partícula que se move de até , ao longo da curva lisa arbitrária.
e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para confirmar se o campo de forças é conservativo em uma região aberta e conexa que contém os pontos e . Depois, precisamos calcular o trabalho realizado por esse campo quando uma partícula se move de até por qualquer curva lisa. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e trabalho de campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo conservativo. Um campo de forças é conservativo se ele pode ser derivado de uma função potencial , ou seja, . Isso implica que o trabalho realizado pelo campo ao mover uma partícula depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho seguido.

Passo 3

Para verificar se é conservativo, consideramos suas componentes:
Aqui, e . Uma condição necessária para que seja conservativo é que as derivadas parciais cruzadas sejam iguais, ou seja:
Calculando:
Como , o campo é conservativo na região considerada.

Passo 4

Agora que sabemos que é conservativo, podemos encontrar a função potencial tal que . Isso significa que:
Integrando em relação a :
Onde é uma função de que surge da constante de integração.

Passo 5

Para encontrar , derivamos em relação a e igualamos a :
Isso implica que , então é uma constante. Podemos escolher sem perder generalidade.
Portanto, a função potencial é:

Passo 6

Com a função potencial encontrada, o trabalho realizado ao mover a partícula de a é dado pela diferença dos valores de nos pontos finais:
Calculando cada termo:
Então:

Resposta

O trabalho realizado pelo campo de forças ao mover a partícula de até é .

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, onde é a porção do cone entre os planos e .
Calcule , sendo e