Determine os pontos singulares de cada uma das seguintes funções e diga por que a função é analítica em todos os pontos, exceto nesses pontos:
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.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício onde temos que encontrar os pontos singulares da função
. A matéria que vamos usar aqui é Análise Complexa, especificamente sobre funções analíticas e pontos singulares. Para isso, vamos precisar entender onde a função não está definida, ou seja, onde os denominadores são iguais a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde o denominador
é igual a zero. Isso acontece quando
. Resolvendo essa equação:
Então,
é um ponto onde a função não está definida.
Passo 3
Agora, vamos analisar o segundo denominador
. Precisamos encontrar os valores de
que fazem
. Para resolver essa equação quadrática, usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Substituindo:
Portanto, os pontos são
e
.
Passo 4
Agora que encontramos todos os valores que anulam os denominadores, sabemos que nesses pontos a função
não está definida, ou seja, ela não é analítica nesses locais. Fora esses pontos, a função é composta por funções racionais que são analíticas onde estão definidas.
Resposta
Os pontos singulares da função
são
,
e
. A função é analítica em todos os demais pontos do plano complexo porque está bem definida e diferenciável nesses lugares.