Calcule a integral integral duplaB f(x, y) d x d y onde: f(x, y)=x y e B é o retângulo 0 <= y <= pi e -1 <= x <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de sobre o retângulo que vai de até em e de até em . Esse tipo de problema faz parte do estudo de integrais múltiplas em cálculo, onde a gente integra funções de duas variáveis sobre uma região específica no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que uma integral dupla sobre uma região retangular pode ser separada em integrais iteradas. Isso significa que podemos integrar uma variável de cada vez. No nosso caso, a região integral duplaB f(x, y) , dx , dy = integral0^pi integral-1^1 x y , dx , dy está definida por indo de até e indo de até . Então, a integral dupla fica assim:

Passo 3

Agora, vamos integrar em relação a integral-1^1 x y , dx primeiro, mantendo y integral-1^1 x , dx como uma constante. A integral de integral-1^1 x , dx = [ x^22 ]-1^1 = 1^22 - (-1)^22 = 12 - 12 = 0 em relação a é:
Como é constante em relação a , podemos puxar ele para fora da integral:
A integral de de a é:
Então, a primeira parte da integral nos dá zero.

Passo 4

Agora, vamos inserir esse resultado na integral externa em relação a integral0^pi 0 , dy = 0 :
Não importa o intervalo de , se estamos integrando zero, o resultado será sempre zero.

Resposta

A integral dupla é igual a 0.

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Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas!
(d) raiz(36) + raiz(64) = raiz(36 + 64);
Considere o PVI
y' = (4x - 1) / (3y^2 + 2y - 1) ; y(0) = -1
Cite dois métodos que permitem encontrar a solução geral da EDO.
Resolva as seguintes inequações modulares:
(g) 3|x-1| + |2x-7| < -|x-1|