Calcule a integral integral duplaB f(x, y) d x d y onde: f(x, y)=y e B é o conjunto de todos os pontos ( x, y) tais que x^2+4 y^2 <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta é para calcular a integral dupla integral duplaB f(x, y) , dx , dy, onde f(x, y) = y, e a região B é todos os pontos (x, y) que satisfazem x^2 + 4y^2 <= 1. Vamos usar o cálculo de integrais duplas, que é uma parte do cálculo multivariado. Para resolver isso, precisamos entender a região de integração e ver como simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região B. A desigualdade x^2 + 4y^2 <= 1 descreve uma elipse. Se compararmos com a equação padrão da elipse x^2a^2 + y^2b^2 <= 1, vemos que a = 1 e b = 12. Isso significa que a elipse está alongada ao longo do eixo x e mais estreita no eixo y.

Passo 3

Agora, para facilitar a integração, podemos fazer uma mudança de variável que transforma a elipse em um círculo. Vamos definir:
x = u
y = v2
Com essa mudança, a equação da elipse fica:
u^2 + v^2 <= 1
Que é a equação de um círculo de raio 1. Também precisamos ajustar o elemento de área dx , dy. O determinante da Jacobiana dessa transformação é:
| partial(x, y)partial(u, v) | = | cc partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v | = | cc 1 & 0 0 & 12 | = 12
Então, dx , dy = 12 du , dv.

Passo 4

Substituindo na integral original, temos:
integral duplaB y , dx , dy = integral duplau^2 + v^2 <= 1 ( v2 ) ( 12 ) du , dv = 14 integral duplau^2 + v^2 <= 1 v , du , dv
Agora, vamos notar que a função v é uma função ímpar em relação ao eixo u (ou seja, é simétrica em torno de v = 0 com sinais opostos). Quando integramos uma função ímpar sobre uma região simétrica em torno de v = 0, o resultado é zero.

Passo 5

Portanto, a integral integral duplau^2 + v^2 <= 1 v , du , dv é igual a zero devido à simetria da região e da função. Multiplicando pela constante que tínhamos:
14 times 0 = 0

Resposta

O valor da integral dupla é 0.

Exercícios relacionados

Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas!
(d) raiz(36) + raiz(64) = raiz(36 + 64);
(2,0) Considere a função f: R R dada por f(x)=llx^2+k, & se x >= 0 sin xx, & se x<0. Determine o valor de k de modo que f seja contínua.
& f(0)=k, lim x 0^+ f(x)=lim x 0^+(x^2+k)=k & lim x 0^- f(x)=lim x 0^- sen xx=1 & f continua Leftrightarrow k=1
Calcule a integral integral duplaB f(x, y) d x d y onde: f(x, y)=x y e B é o retângulo 0 <= y <= pi e -1 <= x <= 1.
Considere o PVI
y' = (4x - 1) / (3y^2 + 2y - 1) ; y(0) = -1
Cite dois métodos que permitem encontrar a solução geral da EDO.