Calcule a integral onde: e é o conjunto de todos os pontos ( tais que .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A pergunta é para calcular a integral dupla , onde , e a região é todos os pontos que satisfazem . Vamos usar o cálculo de integrais duplas, que é uma parte do cálculo multivariado. Para resolver isso, precisamos entender a região de integração e ver como simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região . A desigualdade descreve uma elipse. Se compararmos com a equação padrão da elipse , vemos que e . Isso significa que a elipse está alongada ao longo do eixo e mais estreita no eixo .
Passo 3
Agora, para facilitar a integração, podemos fazer uma mudança de variável que transforma a elipse em um círculo. Vamos definir:
Com essa mudança, a equação da elipse fica:
Que é a equação de um círculo de raio 1. Também precisamos ajustar o elemento de área . O determinante da Jacobiana dessa transformação é:
Então, dx , dy = 12 du , dv.
Passo 4
Substituindo na integral original, temos:
integral duplaB y , dx , dy = integral duplau^2 + v^2 <= 1 ( v2 ) ( 12 ) du , dv = 14 integral duplau^2 + v^2 <= 1 v , du , dv
Agora, vamos notar que a função v é uma função ímpar em relação ao eixo u (ou seja, é simétrica em torno de v = 0 com sinais opostos). Quando integramos uma função ímpar sobre uma região simétrica em torno de v = 0, o resultado é zero.
Passo 5
Portanto, a integral integral duplau^2 + v^2 <= 1 v , du , dv é igual a zero devido à simetria da região e da função. Multiplicando pela constante que tínhamos: