Considere o PVI
y' = (4x - 1) / (3y^2 + 2y - 1) ; y(0) = -1
Cite dois métodos que permitem encontrar a solução geral da EDO.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que temos aqui. A gente recebeu um Problema de Valor Inicial (PVI) com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem:
y' = (4x - 1) / (3y^2 + 2y - 1) ; y(0) = -1
O que a questão está pedindo é para a gente citar dois métodos que podemos usar para achar a solução geral dessa EDO. Ou seja, como resolver essa equação para encontrar a função .

Passo 2

O primeiro método que podemos usar é a separação de variáveis. Esse método é super útil quando conseguimos arrumar a equação de tal forma que todas as partes que envolvem fiquem de um lado e as que envolvem fiquem do outro. Aí, a gente integra ambos os lados separadamente. No nosso caso, se der pra separar e dessa maneira, a separação de variáveis é uma boa pedida.

Passo 3

O segundo método que dá pra aplicar é o de substituição. Às vezes, a equação não está diretamente na forma ideal para separar as variáveis ou usar algum outro método simples. Nesses casos, a gente faz uma substituição inteligente, trocando de variável ou rearranjando a equação, para transformar a EDO numa forma que seja mais fácil de resolver. Isso pode envolver, por exemplo, usar uma nova variável que simplifique a expressão.

Resposta

Os dois métodos que permitem encontrar a solução geral da EDO são a separação de variáveis e o método de substituição.

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