Calcule
, sendo dados:
e
a região compreendida entre os gráficos de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla
onde
. A região
está delimitada pelas curvas
e
no intervalo
. Para isso, vamos precisar entender como configurar integrais duplas e identificar os limites de integração das curvas envolvidas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites de integração. Para
variando de
a
, devemos determinar quais são os valores de
que definem a região
. Observando as funções:
-
varia de quando até quando . -
varia de quando até quando .
Percebe-se que, para cada
no intervalo,
está acima de
. Então, os limites para
vão de
até
.
Passo 3
Com os limites definidos, podemos expressar a integral dupla como uma integral iterada:
Aqui, integramos primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 4
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Então, a integral dupla fica:
Passo 5
Agora, vamos dividir a integral em duas partes para facilitar a resolução:
Para resolver
, usamos a técnica de integração por partes, onde:
Aplicando a integração por partes:
E
.
Passo 6
Substituindo de volta na expressão original:
Calculando os limites:
- Para
: - Para
:
Subtraindo:
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule
, sendo dados:
e
e
.
Determine se existe ou não os seguintes limites:
Calcule
, sendo dados:
e
a região compreendida entre os gráficos de
e
, com
.
Inverta a ordem de integração.