Calcule integral duplaB f(x, y) d x d y, sendo dados:
f(x, y)=x e B a região compreendida entre os gráficos de y=cos x e y=1-cos x, com 0 <= x <= pi2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla onde . A região está delimitada pelas curvas e no intervalo . Para isso, vamos precisar entender como configurar integrais duplas e identificar os limites de integração das curvas envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração. Para variando de a , devemos determinar quais são os valores de que definem a região . Observando as funções:
  • varia de quando até quando .
  • varia de quando até quando .
Percebe-se que, para cada no intervalo, está acima de . Então, os limites para vão de até .

Passo 3

Com os limites definidos, podemos expressar a integral dupla como uma integral iterada:
integral duplaB x , dx , dy = integral0^pi2 integral1 - cos x^cos x x , dy , dx
Aqui, integramos primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 4

Vamos resolver a integral interna em relação a integral1 - cos x^cos x x , dy = x [ y ]1 - cos x^cos x = x (cos x - (1 - cos x)) = x (2 cos x - 1) :
integral0^pi2 x (2 cos x - 1) , dx
Então, a integral dupla fica:

Passo 5

Agora, vamos dividir a integral em duas partes para facilitar a resolução:
integral0^pi2 x (2 cos x - 1) , dx = 2 integral0^pi2 x cos x , dx - integral0^pi2 x , dx
Para resolver u = x Rightarrow du = dx dv = cos x , dx Rightarrow v = sin x , usamos a técnica de integração por partes, onde:
integral x cos x , dx = x sin x - integral sin x , dx = x sin x + cos x + C
Aplicando a integração por partes:
E .

Passo 6

Substituindo de volta na expressão original:
2 integral0^pi2 x cos x , dx - integral0^pi2 x , dx = 2 [ x sin x + cos x ]0^pi2 - [ 12 x^2 ]0^pi2
Calculando os limites:
  • Para 2 ( pi2 cdot 1 + 0 ) - 12 ( pi2 )^2 = pi - pi^28 : 2 (0 + 1) - 0 = 2
  • Para ( pi - pi^28 ) - 2 = pi - 2 - pi^28 :
Subtraindo:

Resposta

integral duplaB f(x, y) , dx , dy = pi - 2 - pi^28

Exercícios relacionados