Calcule , sendo dados:
e a região compreendida entre os gráficos de e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla onde . A região está delimitada pelas curvas e no intervalo . Para isso, vamos precisar entender como configurar integrais duplas e identificar os limites de integração das curvas envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração. Para variando de a , devemos determinar quais são os valores de que definem a região . Observando as funções:
  • varia de quando até quando .
  • varia de quando até quando .
Percebe-se que, para cada no intervalo, está acima de . Então, os limites para vão de até .

Passo 3

Com os limites definidos, podemos expressar a integral dupla como uma integral iterada:
Aqui, integramos primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 4

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Então, a integral dupla fica:

Passo 5

Agora, vamos dividir a integral em duas partes para facilitar a resolução:
Para resolver , usamos a técnica de integração por partes, onde:
Aplicando a integração por partes:
E .

Passo 6

Substituindo de volta na expressão original:
Calculando os limites:
  • Para :
  • Para :
Subtraindo:

Resposta

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Calcule , sendo dados:
e e .
Determine se existe ou não os seguintes limites:
Calcule , sendo dados:
e a região compreendida entre os gráficos de e , com .
Inverta a ordem de integração.