Determine se existe ou não os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se dois limites existem quando
se aproxima de
. O conteúdo aqui é sobre limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como os limites funcionam nessas situações, e a gente pode usar coordenadas polares ou analisar diferentes caminhos para ver se o limite dá o mesmo valor.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o primeiro limite:
Para verificar se esse limite existe, uma boa estratégia é transformar as coordenadas para polares, onde
e
, e
tende a 0.
Passo 3
Substituindo
e
por
e
respectivamente, temos:
Passo 4
Agora, vamos analisar o comportamento dessa expressão quando
. Note que
está limitado (sempre entre -1 e 1), então:
Como
tende a 0, o lado direito tende a 0, então pelo teorema do sanduíche, o limite é 0.
Passo 5
Agora, vamos para o segundo limite:
Mais uma vez, vamos usar coordenadas polares para facilitar. Substituindo
e
, temos:
Passo 6
Agora, observamos que
também está limitado, então:
À medida que
, o lado direito tende a 0, novamente pelo teorema do sanduíche, o limite é 0.
Resposta
Ambos os limites existem e são iguais a 0.