Determine se existe ou não os seguintes limites:
lim (x, y) (0,0) 3 x^2 yx^2+y^2 lim (x, y) (0,0) x yraizx^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente determinar se dois limites existem quando se aproxima de . O conteúdo aqui é sobre limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como os limites funcionam nessas situações, e a gente pode usar coordenadas polares ou analisar diferentes caminhos para ver se o limite dá o mesmo valor.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o primeiro limite:
lim (x, y) (0,0) 3 x^2 yx^2+y^2
Para verificar se esse limite existe, uma boa estratégia é transformar as coordenadas para polares, onde e , e tende a 0.

Passo 3

Substituindo 3 (r cos(theta))^2 (r sin(theta))(r cos(theta))^2 + (r sin(theta))^2 = 3 r^3 cos^2(theta) sin(theta)r^2 (cos^2(theta) + sin^2(theta)) = 3 r^3 cos^2(theta) sin(theta)r^2 = 3 r cos^2(theta) sin(theta) e por e respectivamente, temos:

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento dessa expressão quando |3 r cos^2(theta) sin(theta)| <= 3r . Note que está limitado (sempre entre -1 e 1), então:
Como tende a 0, o lado direito tende a 0, então pelo teorema do sanduíche, o limite é 0.

Passo 5

Agora, vamos para o segundo limite:
lim (x, y) (0,0) x yraizx^2+y^2
Mais uma vez, vamos usar coordenadas polares para facilitar. Substituindo r cos(theta) cdot r sin(theta)raizr^2 cos^2(theta) + r^2 sin^2(theta) = r^2 cos(theta) sin(theta)r raizcos^2(theta) + sin^2(theta) = r^2 cos(theta) sin(theta)r = r cos(theta) sin(theta) e , temos:

Passo 6

Agora, observamos que |r cos(theta) sin(theta)| <= r também está limitado, então:
À medida que , o lado direito tende a 0, novamente pelo teorema do sanduíche, o limite é 0.

Resposta

Ambos os limites existem e são iguais a 0.
lim (x, y) (0,0) 3 x^2 yx^2+y^2 = 0
lim (x, y) (0,0) x yraizx^2+y^2 = 0

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