Calcule
, sendo dados:
e
a região compreendida entre os gráficos de
e
, com
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para calcular a integral dupla
, onde
. A região
está entre os gráficos das funções e
, no intervalo de
de
até
. Vamos precisar entender como essas funções se comportam nesse intervalo para definir os limites da nossa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que delimitam a região
:
Queremos saber qual dessas funções está acima da outra no intervalo de
a
. Para isso, podemos comparar os valores das duas funções nos extremos e ver onde elas se cruzam.
Passo 3
Vamos calcular os valores das funções nos limites de
:
- Em
: - Em
:
Veja que nos extremos, as duas funções têm o mesmo valor. Agora, vamos verificar qual está maior no meio do intervalo. Para isso, podemos escolher um valor intermediário, por exemplo,
:
Isso mostra que, no meio do intervalo, está acima de
.
Passo 4
Com base nisso, sabemos que a região
está limitada por
embaixo e em cima, para
entre
e
. Como queremos calcular a integral dupla de
sobre essa região, isso equivale a encontrar a área de
.
Passo 5
Para calcular a área, podemos configurar a integral dupla como uma integral iterada. Primeiro, integramos em
de
até , e depois em
de
até
:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em
:
Passo 7
Agora, substituímos na integral externa:
Vamos integrar termo a termo:
- Integral de em relação a
é . - Integral de
em relação a é . - Integral de
em relação a é .
Então, a antiderivada é:
Passo 8
Agora, avaliamos nos limites:
- Para
: - Para
:
Passo 9
Calculamos a diferença:
Resposta
O valor da integral dupla é
.
Exercícios relacionados
Calcule
, sendo dados:
e
a região compreendida entre os gráficos de
e
.
Calcule
, sendo dados:
e
e
.
Inverta a ordem de integração.
Inverta a ordem de integração.