Calcule , sendo dados:
e a região compreendida entre os gráficos de e , com .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para calcular a integral dupla , onde . A região está entre os gráficos das funções e , no intervalo de de até . Vamos precisar entender como essas funções se comportam nesse intervalo para definir os limites da nossa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que delimitam a região :
Queremos saber qual dessas funções está acima da outra no intervalo de a . Para isso, podemos comparar os valores das duas funções nos extremos e ver onde elas se cruzam.

Passo 3

Vamos calcular os valores das funções nos limites de :
  • Em :
  • Em :
Veja que nos extremos, as duas funções têm o mesmo valor. Agora, vamos verificar qual está maior no meio do intervalo. Para isso, podemos escolher um valor intermediário, por exemplo, :
Isso mostra que, no meio do intervalo, está acima de .

Passo 4

Com base nisso, sabemos que a região está limitada por embaixo e em cima, para entre e . Como queremos calcular a integral dupla de sobre essa região, isso equivale a encontrar a área de .

Passo 5

Para calcular a área, podemos configurar a integral dupla como uma integral iterada. Primeiro, integramos em de até , e depois em de até :

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em :

Passo 7

Agora, substituímos na integral externa:
Vamos integrar termo a termo:
  • Integral de em relação a é .
  • Integral de em relação a é .
  • Integral de em relação a é .
Então, a antiderivada é:

Passo 8

Agora, avaliamos nos limites:
  • Para :
  • Para :

Passo 9

Calculamos a diferença:

Resposta

O valor da integral dupla é .

Exercícios relacionados

Calcule , sendo dados:
e a região compreendida entre os gráficos de e .
Calcule , sendo dados:
e e .
Inverta a ordem de integração.
Inverta a ordem de integração.