Calcule integral duplaB f(x, y) d x d y, sendo dados:
f(x, y)=1 e B a região compreendida entre os gráficos de y=sen x e y=1-cos x, com 0 <= x <= pi2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para calcular a integral dupla integral duplaB f(x, y) , dx , dy, onde f(x, y) = 1. A região B está entre os gráficos das funções e y = sen x, no intervalo de y = 1 - cos x de x até 0. Vamos precisar entender como essas funções se comportam nesse intervalo para definir os limites da nossa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que delimitam a região B:
  • y = sen x
Queremos saber qual dessas funções está acima da outra no intervalo de y = 1 - cos x a 0. Para isso, podemos comparar os valores das duas funções nos extremos e ver onde elas se cruzam.

Passo 3

Vamos calcular os valores das funções nos limites de x:
  • Em x = 0:
    • sen 0 = 0
  • Em 1 - cos 0 = 1 - 1 = 0:
    • x = pi2
Veja que nos extremos, as duas funções têm o mesmo valor. Agora, vamos verificar qual está maior no meio do intervalo. Para isso, podemos escolher um valor intermediário, por exemplo, sen pi2 = 1:
  • 1 - cos pi2 = 1 - 0 = 1
Isso mostra que, no meio do intervalo, está acima de x = pi4.

Passo 4

Com base nisso, sabemos que a região B está limitada por y = 1 - cos x embaixo e em cima, para y = sen x entre x e 0. Como queremos calcular a integral dupla de pi2 sobre essa região, isso equivale a encontrar a área de f(x, y) = 1.

Passo 5

Para calcular a área, podemos configurar a integral dupla como uma integral iterada. Primeiro, integramos em y de 1 - cos x até , e depois em sen x de x até 0:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em y:

Passo 7

Agora, substituímos na integral externa:
Vamos integrar termo a termo:
  • Integral de em relação a integral0^pi2 (sen x - 1 + cos x) , dx é sen x.
  • Integral de x em relação a - cos x é -1.
  • Integral de x em relação a -x é .
Então, a antiderivada é:

Passo 8

Agora, avaliamos nos limites:
  • Para x = pi2:
  • Para - cos pi2 - pi2 + sen pi2 = -0 - pi2 + 1 = -pi2 + 1 :

Passo 9

Calculamos a diferença:
( -pi2 + 1 ) - (-1) = -pi2 + 1 + 1 = -pi2 + 2 = 2 - pi2

Resposta

O valor da integral dupla é 2 - pi2.

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