Calcule integral duplaB f(x, y) d x d y, sendo dados:
f(x, y)=x y e B=(x, y) in R^2: x^2+y^2 <= 2, y <= x e x >= 0.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral dupla de sobre a região , onde é definida por , e . Isso envolve conhecimento de cálculo integral, especialmente em coordenadas polares, para facilitar a integração sobre regiões circulares ou partes delas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . A condição descreve um círculo de raio centrado na origem. A condição indica que estamos considerando a parte do círculo abaixo da linha . Além disso, limita a região ao lado direito do eixo . Portanto, a região é uma porção do círculo no primeiro e quarto quadrantes, abaixo da linha .

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos converter as coordenadas cartesianas para coordenadas polares. As relações de conversão são:
x = r cos theta y = r sin theta
O diferencial de área em coordenadas polares é .

Passo 4

Determinar os limites de integração. A condição implica que varia de 0 a . A condição em coordenadas polares se traduz em . Além disso, significa que varia de 0 a .

Passo 5

Expressar a função f(r, theta) = (r cos theta)(r sin theta) = r^2 cos theta sin theta em coordenadas polares:
integral duplaB f(x, y) , dx , dy = integral0^pi4 integral0^raiz2 r^2 cos theta sin theta cdot r , dr , dtheta = integral0^pi4 integral0^raiz2 r^3 cos theta sin theta , dr , dtheta
Agora, a integral dupla se torna:

Passo 6

Primeiro, integramos em relação a integral0^raiz2 r^3 , dr = [ r^44 ]0^raiz2 = (raiz2)^44 - 0 = 44 = 1 :
integral0^pi4 cos theta sin theta , dtheta
A integral reduz-se a:

Passo 7

Para resolver cos theta sin theta = 12 sin 2theta , usamos a identidade trigonométrica:
integral0^pi4 cos theta sin theta , dtheta = 12 integral0^pi4 sin 2theta , dtheta = 12 [ -cos 2theta2 ]0^pi4 = 14 ( -cos pi2 + cos 0 ) = 14 ( -0 + 1 ) = 14
Portanto:

Resposta

14

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