Calcule
, sendo dados:
e
e
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral dupla de
sobre a região
, onde
é definida por
,
e
. Isso envolve conhecimento de cálculo integral, especialmente em coordenadas polares, para facilitar a integração sobre regiões circulares ou partes delas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. A condição
descreve um círculo de raio
centrado na origem. A condição
indica que estamos considerando a parte do círculo abaixo da linha
. Além disso,
limita a região ao lado direito do eixo
. Portanto, a região
é uma porção do círculo no primeiro e quarto quadrantes, abaixo da linha
.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos converter as coordenadas cartesianas para coordenadas polares. As relações de conversão são:
O diferencial de área em coordenadas polares é
.
Passo 4
Determinar os limites de integração. A condição
implica que
varia de 0 a
. A condição
em coordenadas polares se traduz em
. Além disso,
significa que
varia de 0 a
.
Passo 5
Expressar a função
em coordenadas polares:
Agora, a integral dupla se torna:
Passo 6
Primeiro, integramos em relação a
:
A integral reduz-se a:
Passo 7
Para resolver
, usamos a identidade trigonométrica:
Portanto:
Resposta
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Determine se existe ou não os seguintes limites:
Determine se existe ou não o seguinte limite:
Calcule
, sendo dados:
e
a região compreendida entre os gráficos de
e
.
Calcule
, sendo dados:
e
a região compreendida entre os gráficos de
e
, com
.