Calcule , sendo dados:
e e .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral dupla de sobre a região , onde é definida por , e . Isso envolve conhecimento de cálculo integral, especialmente em coordenadas polares, para facilitar a integração sobre regiões circulares ou partes delas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . A condição descreve um círculo de raio centrado na origem. A condição indica que estamos considerando a parte do círculo abaixo da linha . Além disso, limita a região ao lado direito do eixo . Portanto, a região é uma porção do círculo no primeiro e quarto quadrantes, abaixo da linha .

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos converter as coordenadas cartesianas para coordenadas polares. As relações de conversão são:
O diferencial de área em coordenadas polares é .

Passo 4

Determinar os limites de integração. A condição implica que varia de 0 a . A condição em coordenadas polares se traduz em . Além disso, significa que varia de 0 a .

Passo 5

Expressar a função em coordenadas polares:
Agora, a integral dupla se torna:

Passo 6

Primeiro, integramos em relação a :
A integral reduz-se a:

Passo 7

Para resolver , usamos a identidade trigonométrica:
Portanto:

Resposta

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Determine se existe ou não os seguintes limites:
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Calcule , sendo dados:
e a região compreendida entre os gráficos de e .
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e a região compreendida entre os gráficos de e , com .