Inverta a ordem de integração.
integral-1^1[integralx^2^raiz2-x^2 f(x, y) d y] d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para inverter a ordem de integração da seguinte integral dupla:
integral-1^1[integralx^2^raiz2-x^2 f(x, y) , dy] dx
Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente de integrais múltiplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como as regiões de integração estão definidas e como podemos reorganizá-las para trocar a ordem dos limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração no plano . Temos variando de a , e para cada , varia de até .
Para entender melhor, vamos esboçar essas curvas:
  1. : é uma parábola que abre para cima.
  2. : rearranjando, temos , ou , que é um círculo com raio centrado na origem.

Passo 3

Agora, vamos determinar os pontos de interseção dessas duas curvas para saber os limites de x^2 = raiz2 - x^2 e x^4 = 2 - x^2 na nova ordem de integração.
Igualando as duas expressões para x^4 + x^2 - 2 = 0 :
z^2 + z - 2 = 0
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
z = -1 pm raiz1 + 82 = -1 pm 32
Rearranjando:
Vamos resolver essa equação para . Podemos fazer uma substituição: seja , então temos:
Resolvendo a equação quadrática:
Assim, ou . Como e não pode ser negativo, descartamos .
Portanto, .

Passo 4

Sabendo que as curvas se intersectam em e , nossa região de integração é limitada por:
  • de a
  • de a
Para inverter a ordem, queremos expressar em função de . Vamos achar os limites de e, para cada , determinar como varia.
Observando as curvas:
  • A parábola pode ser reescrita como .
  • O círculo pode ser reescrito como .

Passo 5

Determinar os limites de :
O menor valor de ocorre na parábola quando : .
O maior valor de ocorre na interseção das duas curvas, que é .
Então, varia de a .
Para cada nesse intervalo, varia de até , mas também está limitado pela parábola .
No intervalo de de a , a parábola está dentro do círculo, então os limites de para cada são de a .

Passo 6

Portanto, a ordem de integração invertida será:
integral0^1 [ integral-raizy^raizy f(x, y) , dx ] dy

Resposta

A ordem de integração invertida é
integral0^1 [ integral-raizy^raizy f(x, y) , dx ] dy

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