Inverta a ordem de integração.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para inverter a ordem de integração da seguinte integral dupla:
Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente de integrais múltiplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como as regiões de integração estão definidas e como podemos reorganizá-las para trocar a ordem dos limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração no plano
. Temos
variando de
a
, e para cada
,
varia de
até
.
Para entender melhor, vamos esboçar essas curvas:
-
: é uma parábola que abre para cima. -
: rearranjando, temos , ou , que é um círculo com raio centrado na origem.
Passo 3
Agora, vamos determinar os pontos de interseção dessas duas curvas para saber os limites de
e
na nova ordem de integração.
Igualando as duas expressões para
:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Rearranjando:
Vamos resolver essa equação para
. Podemos fazer uma substituição: seja
, então temos:
Resolvendo a equação quadrática:
Assim,
ou
. Como
e
não pode ser negativo, descartamos
.
Portanto,
.
Passo 4
Sabendo que as curvas se intersectam em
e
, nossa região de integração é limitada por:
-
de a -
de a
Para inverter a ordem, queremos expressar
em função de
. Vamos achar os limites de
e, para cada
, determinar como
varia.
Observando as curvas:
- A parábola
pode ser reescrita como . - O círculo
pode ser reescrito como .
Passo 5
Determinar os limites de
:
O menor valor de
ocorre na parábola quando
:
.
O maior valor de
ocorre na interseção das duas curvas, que é
.
Então,
varia de
a
.
Para cada
nesse intervalo,
varia de
até
, mas também está limitado pela parábola
.
No intervalo de
de
a
, a parábola está dentro do círculo, então os limites de
para cada
são de
a
.
Passo 6
Portanto, a ordem de integração invertida será:
Resposta
A ordem de integração invertida é