Inverta a ordem de integração. $\int_{-1}^{1}\left[\int_{x^{2}}^{\sqrt{2-x^{2}}} f(x, y) d y\right] d x$
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para inverter a ordem de integração da seguinte integral dupla:
Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente de integrais múltiplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como as regiões de integração estão definidas e como podemos reorganizá-las para trocar a ordem dos limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração no plano
. Temos
variando de
a
, e para cada
,
varia de
até
.
Para entender melhor, vamos esboçar essas curvas:
-
: é uma parábola que abre para cima. -
: rearranjando, temos , ou , que é um círculo com raio centrado na origem.
Passo 3
Agora, vamos determinar os pontos de interseção dessas duas curvas para saber os limites de
e
na nova ordem de integração.
Igualando as duas expressões para
:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Rearranjando:
Vamos resolver essa equação para
. Podemos fazer uma substituição: seja
, então temos:
Resolvendo a equação quadrática:
Assim,
ou
. Como
e
não pode ser negativo, descartamos
.
Portanto,
.
Passo 4
Sabendo que as curvas se intersectam em
e
, nossa região de integração é limitada por:
-
de a -
de a
Para inverter a ordem, queremos expressar
em função de
. Vamos achar os limites de
e, para cada
, determinar como
varia.
Observando as curvas:
- A parábola
pode ser reescrita como . - O círculo
pode ser reescrito como .
Passo 5
Determinar os limites de
:
O menor valor de
ocorre na parábola quando
:
.
O maior valor de
ocorre na interseção das duas curvas, que é
.
Então,
varia de
a
.
Para cada
nesse intervalo,
varia de
até
, mas também está limitado pela parábola
.
No intervalo de
de
a
, a parábola está dentro do círculo, então os limites de
para cada
são de
a
.
Passo 6
Portanto, a ordem de integração invertida será:
Resposta
A ordem de integração invertida é
Exercícios relacionados
Calcule
, sendo dados:
e
a região compreendida entre os gráficos de
e
, com
.
Calcule
, sendo dados:
e
a região compreendida entre os gráficos de
e
.
Inverta a ordem de integração.
<html><head></head><body><div>Utilizando integral dupla, calcule a área do conjunto <span class="math-inline " data-overflow=“visible”>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: 0;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“1.717ex” height=“1.545ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -683 759 683”><title>B</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D435” d=“M231 637Q204 637 199 638T194 649Q194 676 205 682Q206 683 335 683Q594 683 608 681Q671 671 713 636T756 544Q756 480 698 429T565 360L555 357Q619 348 660 311T702 219Q702 146 630 78T453 1Q446 0 242 0Q42 0 39 2Q35 5 35 10Q35 17 37 24Q42 43 47 45Q51 46 62 46H68Q95 46 128 49Q142 52 147 61Q150 65 219 339T288 628Q288 635 231 637ZM649 544Q649 574 634 600T585 634Q578 636 493 637Q473 637 451 637T416 636H403Q388 635 384 626Q382 622 352 506Q352 503 351 500L320 374H401Q482 374 494 376Q554 386 601 434T649 544ZM595 229Q595 273 572 302T512 336Q506 337 429 337Q311 337 310 336Q310 334 293 263T258 122L240 52Q240 48 252 48T333 46Q422 46 429 47Q491 54 543 105T595 229Z”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> dado.<br>
<span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.798ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“46.811ex” height=“2.773ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -872.7 20690.7 1225.5”><title>B = {(x, y) em R^2: x > 0, 4/x <= 3y <= -3x^2 + 7x}</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D435” d=“M231 637Q204 637 199 638T194 649Q194 676 205 682Q206 683 335 683Q594 683 608 681Q671 671 713 636T756 544Q756 480 698 429T565 360L555 357Q619 348 660 311T702 219Q702 146 630 78T453 1Q446 0 242 0Q42 0 39 2Q35 5 35 10Q35 17 37 24Q42 43 47 45Q51 46 62 46H68Q95 46 128 49Q142 52 147 61Q150 65 219 339T288 628Q288 635 231 637ZM649 544Q649 574 634 600T585 634Q578 636 493 637Q473 637 451 637T416 636H403Q388 635 384 626Q382 622 352 506Q352 503 351 500L320 374H401Q482 374 494 376Q554 386 601 434T649 544ZM595 229Q595 273 572 302T512 336Q506 337 429 337Q311 337 310 336Q310 334 293 263T258 122L240 52Q240 48 252 48T333 46Q422 46 429 47Q491 54 543 105T595 229Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(1036.8,0)”><path data-c=“3D” d=“M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z”></path></g><g data-mml-node=“mrow” transform=“translate(2092.6,0)”><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(0 -0.5)”><path data-c=“7B” d=“M477 -343L471 -349H458Q432 -349 367 -325T273 -263Q258 -245 250 -212L249 -51Q249 -27 249 12Q248 118 244 128Q243 129 243 130Q220 189 121 228Q109 232 107 235T105 250Q105 256 105 257T105 261T107 265T111 268T118 272T128 276T142 283T162 291Q224 324 243 371Q243 372 244 373Q248 384 249 469Q249 475 249 489Q249 528 249 552L250 714Q253 728 256 736T271 761T299 789T347 816T422 843Q440 849 441 849H443Q445 849 447 849T452 850T457 850H471L477 844V830Q477 820 476 817T470 811T459 807T437 801T404 785Q353 760 338 724Q333 710 333 550Q333 526 333 492T334 447Q334 393 327 368T295 318Q257 280 181 255L169 251L184 245Q318 198 332 112Q333 106 333 -49Q333 -209 338 -223Q351 -255 391 -277T469 -309Q477 -311 477 -329V-343Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(583,0)”><path data-c=“28” d=“M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z”></path></g><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(972,0)”><path data-c=“1D465” d=“M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 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