Inverta a ordem de integração. $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left[\int_{\operatorname{sen} x}^{\cos x} f(x, y) d y\right] d x$

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um integral duplo onde precisamos inverter a ordem de integração. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente no estudo de integrais múltiplos. Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar os limites de integração quando mudamos a ordem das integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa inverter a ordem de integração. Originalmente, estamos integrando primeiro em relação a e depois em relação a . Queremos mudar isso para integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 3

Vamos analisar os limites de integração originais:
Isso significa que para cada entre e , vai de até .

Passo 4

Para inverter a ordem, precisamos reescrever esses limites em termos de primeiro e depois de . Vamos descobrir os limites para e, para cada , os limites correspondentes para .

Passo 5

Primeiro, encontramos os limites de . Observamos que varia de até . Porém, como vai até , o valor máximo de será .
Então, os limites para são:

Passo 6

Agora, para cada nesse intervalo, vamos determinar os limites para . Sabemos que:
Portanto, para cada :

Passo 7

Com esses novos limites, podemos reescrever a ordem de integração. A integral original:
Passa a ser:

Resposta

A ordem de integração invertida é:

Exercícios relacionados

Inverta a ordem de integração.
Calcule , sendo dados:
e a região compreendida entre os gráficos de e , com .
<html><head></head><body><div>Utilizando integral dupla, calcule a área do conjunto <span class="math-inline " data-overflow=“visible”>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: 0;” xmlns=“
http://www.w3.org/2000/svg” width=“1.717ex” height=“1.545ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -683 759 683”><title>B</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D435” d=“M231 637Q204 637 199 638T194 649Q194 676 205 682Q206 683 335 683Q594 683 608 681Q671 671 713 636T756 544Q756 480 698 429T565 360L555 357Q619 348 660 311T702 219Q702 146 630 78T453 1Q446 0 242 0Q42 0 39 2Q35 5 35 10Q35 17 37 24Q42 43 47 45Q51 46 62 46H68Q95 46 128 49Q142 52 147 61Q150 65 219 339T288 628Q288 635 231 637ZM649 544Q649 574 634 600T585 634Q578 636 493 637Q473 637 451 637T416 636H403Q388 635 384 626Q382 622 352 506Q352 503 351 500L320 374H401Q482 374 494 376Q554 386 601 434T649 544ZM595 229Q595 273 572 302T512 336Q506 337 429 337Q311 337 310 336Q310 334 293 263T258 122L240 52Q240 48 252 48T333 46Q422 46 429 47Q491 54 543 105T595 229Z”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> dado.<br>
<span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.798ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“46.811ex” height=“2.773ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -872.7 20690.7 1225.5”><title>B = {(x, y) em R^2: x > 0, 4/x <= 3y <= -3x^2 + 7x}</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D435” d=“M231 637Q204 637 199 638T194 649Q194 676 205 682Q206 683 335 683Q594 683 608 681Q671 671 713 636T756 544Q756 480 698 429T565 360L555 357Q619 348 660 311T702 219Q702 146 630 78T453 1Q446 0 242 0Q42 0 39 2Q35 5 35 10Q35 17 37 24Q42 43 47 45Q51 46 62 46H68Q95 46 128 49Q142 52 147 61Q150 65 219 339T288 628Q288 635 231 637ZM649 544Q649 574 634 600T585 634Q578 636 493 637Q473 637 451 637T416 636H403Q388 635 384 626Q382 622 352 506Q352 503 351 500L320 374H401Q482 374 494 376Q554 386 601 434T649 544ZM595 229Q595 273 572 302T512 336Q506 337 429 337Q311 337 310 336Q310 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-45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(2478.7,0)”><path data-c=“29” d=“M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(3145.4,0)”><path data-c=“2208” d=“M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 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Observe que <span class="math-inline ">
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