Inverta a ordem de integração.
integral0^pi4[integralsen x^cos x f(x, y) d y] d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um integral duplo onde precisamos inverter a ordem de integração. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente no estudo de integrais múltiplos. Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar os limites de integração quando mudamos a ordem das integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa inverter a ordem de integração. Originalmente, estamos integrando primeiro em relação a e depois em relação a . Queremos mudar isso para integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 3

Vamos analisar os limites de integração originais:
0 <= x <= pi4
sin x <= y <= cos x
Isso significa que para cada entre e , vai de até .

Passo 4

Para inverter a ordem, precisamos reescrever esses limites em termos de primeiro e depois de . Vamos descobrir os limites para e, para cada , os limites correspondentes para .

Passo 5

Primeiro, encontramos os limites de 0 <= y <= raiz22 . Observamos que varia de até . Porém, como vai até , o valor máximo de será .
Então, os limites para são:

Passo 6

Agora, para cada y = sin x Rightarrow x = arcsin y nesse intervalo, vamos determinar os limites para y = cos x Rightarrow x = arccos y . Sabemos que:
arcsin y <= x <= arccos y
Portanto, para cada :

Passo 7

Com esses novos limites, podemos reescrever a ordem de integração. A integral original:
integral0^pi4 [ integralsin x^cos x f(x, y) , dy ] dx
Passa a ser:
integral0^raiz22 [ integralarcsin y^arccos y f(x, y) , dx ] dy

Resposta

A ordem de integração invertida é:
integral0^raiz22 [ integralarcsin y^arccos y f(x, y) , dx ] dy

Exercícios relacionados