Inverta a ordem de integração.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um integral duplo onde precisamos inverter a ordem de integração. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente no estudo de integrais múltiplos. Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar os limites de integração quando mudamos a ordem das integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa inverter a ordem de integração. Originalmente, estamos integrando primeiro em relação a
e depois em relação a
. Queremos mudar isso para integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 3
Vamos analisar os limites de integração originais:
Isso significa que para cada
entre
e
,
vai de
até
.
Passo 4
Para inverter a ordem, precisamos reescrever esses limites em termos de
primeiro e depois de
. Vamos descobrir os limites para
e, para cada
, os limites correspondentes para
.
Passo 5
Primeiro, encontramos os limites de
. Observamos que
varia de
até
. Porém, como
vai até
, o valor máximo de
será
.
Então, os limites para
são:
Passo 6
Agora, para cada
nesse intervalo, vamos determinar os limites para
. Sabemos que:
Portanto, para cada
:
Passo 7
Com esses novos limites, podemos reescrever a ordem de integração. A integral original:
Passa a ser:
Resposta
A ordem de integração invertida é: