Calcule , sendo dados:
e o triângulo de vértices e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a região , que é o triângulo com vértices nos pontos , e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, mais especificamente, integrais duplas sobre regiões planas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região . Temos um triângulo com vértices em , e . Vamos desenhar esse triângulo para visualizar os limites de integração.

Passo 3

Observando o triângulo, vemos que ele pode ser dividido em duas partes para facilitar a integração:
  1. De a , onde a linha superior do triângulo é a reta .
  2. De a , onde a linha superior do triângulo é a reta .

Passo 4

Agora, vamos montar a integral dupla dividida nessas duas partes:

Passo 5

Vamos resolver a primeira integral:
Integrando em relação a primeiro:
Agora, integrando em relação a :

Passo 6

Agora, vamos resolver a segunda integral:
Integrando em relação a primeiro:
Agora, integrando em relação a :

Resposta

Somando as duas partes da integral:
Portanto, o valor da integral dupla é 1.

Exercícios relacionados

Suponha que e sejam integráveis em . Mostre que se , então
(Sugestão: defina . Observe que em e use uma das propriedades vistas em aula).
Utilizando integral dupla, calcule a área do conjunto dado.
.
Calcule , sendo dados:
e o triângulo de vértices .
Inverta a ordem de integração.