Calcule , sendo dados: e o triângulo de vértices e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a região , que é o triângulo com vértices nos pontos , e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, mais especificamente, integrais duplas sobre regiões planas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região . Temos um triângulo com vértices em , e . Vamos desenhar esse triângulo para visualizar os limites de integração.
Passo 3
Observando o triângulo, vemos que ele pode ser dividido em duas partes para facilitar a integração:
De a , onde a linha superior do triângulo é a reta .
De a , onde a linha superior do triângulo é a reta .
Passo 4
Agora, vamos montar a integral dupla dividida nessas duas partes:
Passo 5
Vamos resolver a primeira integral:
Integrando em relação a primeiro:
Agora, integrando em relação a :
Passo 6
Agora, vamos resolver a segunda integral:
integral1^2 integral0^2 - x x , dy , dx
Integrando em relação a integral0^2 - x x , dy = x cdot y |0^2 - x = x(2 - x) - x cdot 0 = 2x - x^2 primeiro: