Calcule integral duplaB f(x, y) d x d y, sendo dados:
f(x, y)=x e B o triângulo de vértices (0,0),(1,1) e (2,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a região , que é o triângulo com vértices nos pontos , e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, mais especificamente, integrais duplas sobre regiões planas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região . Temos um triângulo com vértices em , e . Vamos desenhar esse triângulo para visualizar os limites de integração.

Passo 3

Observando o triângulo, vemos que ele pode ser dividido em duas partes para facilitar a integração:
  1. De a , onde a linha superior do triângulo é a reta .
  2. De a , onde a linha superior do triângulo é a reta .

Passo 4

Agora, vamos montar a integral dupla dividida nessas duas partes:
integral duplaB f(x, y) , dx , dy = integral0^1 integral0^x x , dy , dx + integral1^2 integral0^2 - x x , dy , dx

Passo 5

Vamos resolver a primeira integral:
integral0^1 integral0^x x , dy , dx
Integrando em relação a integral0^x x , dy = x cdot y |0^x = x cdot x - x cdot 0 = x^2 primeiro:
integral0^1 x^2 , dx = x^33 |0^1 = 13 - 0 = 13
Agora, integrando em relação a :

Passo 6

Agora, vamos resolver a segunda integral:
integral1^2 integral0^2 - x x , dy , dx
Integrando em relação a integral0^2 - x x , dy = x cdot y |0^2 - x = x(2 - x) - x cdot 0 = 2x - x^2 primeiro:
integral1^2 (2x - x^2) , dx = ( x^2 - x^33 ) |1^2 = (4 - 83) - (1 - 13) = 43 - 23 = 23
Agora, integrando em relação a :

Resposta

Somando as duas partes da integral:
13 + 23 = 1
Portanto, o valor da integral dupla é 1.

Exercícios relacionados