Utilizando integral dupla, calcule a área do conjunto
dado.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a área do conjunto
usando integrais duplas. O conjunto
é definido por
e
. Pra resolver isso, vamos precisar entender como montar os limites de integração e usar a fórmula da integral dupla para encontrar a área.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever as desigualdades para facilitar:
Dividindo tudo por 3:
Agora, temos y entre essas duas funções, e queremos a área onde
.
Passo 3
Para achar os limites de
, precisamos descobrir onde as duas funções de
se encontram. Igualamos:
Multiplicando ambos os lados por 3x para eliminar os denominadores:
Rearranjando:
Resolvendo essa equação cúbica, encontramos que as raízes positivas são
e
. Então, nossos limites para
vão de 1 a 2.
Passo 4
Agora que temos os limites de
, montamos a integral dupla para a área
:
Como estamos calculando a área, a integral interna em
é simplesmente a diferença das funções de cima e de baixo.
Passo 5
Calculando a integral interna:
Então, a área fica:
Podemos fatorar
para simplificar:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo a termo:
Aplicando os limites de 1 a 2:
Simplificando:
Então:
Resposta
A área do conjunto
é: