Utilizando integral dupla, calcule a área do conjunto B dado.
B = {(x, y) em R^2: x > 0, 4/x <= 3y <= -3x^2 + 7x}.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a área do conjunto usando integrais duplas. O conjunto é definido por e . Pra resolver isso, vamos precisar entender como montar os limites de integração e usar a fórmula da integral dupla para encontrar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as desigualdades para facilitar:
Dividindo tudo por 3:
Agora, temos y entre essas duas funções, e queremos a área onde .

Passo 3

Para achar os limites de , precisamos descobrir onde as duas funções de se encontram. Igualamos:
Multiplicando ambos os lados por 3x para eliminar os denominadores:
Rearranjando:
Resolvendo essa equação cúbica, encontramos que as raízes positivas são e . Então, nossos limites para vão de 1 a 2.

Passo 4

Agora que temos os limites de , montamos a integral dupla para a área :
Como estamos calculando a área, a integral interna em é simplesmente a diferença das funções de cima e de baixo.

Passo 5

Calculando a integral interna:
Então, a área fica:
Podemos fatorar para simplificar:

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
Aplicando os limites de 1 a 2:
Simplificando:
Então:

Resposta

A área do conjunto é:

Exercícios relacionados