Calcule integral duplaB f(x, y) d x d y, sendo dados:
f(x, y)=(cos 2 y) raiz4-sen^2 x e B o triângulo de vértices (0,0),(0, pi2) e(pi2, 0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla de uma função sobre a região , que é um triângulo com vértices em , e . Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especialmente integrais duplas e mudança de ordem de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração y = -x + pi2 . Esse triângulo está no primeiro quadrante, limitado por , e a linha que conecta a . A equação dessa linha pode ser encontrada determinando a relação entre e .
A equação da reta que passa pelos pontos e é:
Então, para entre e , varia de a .

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral dupla. Em coordenadas cartesianas, a integral fica:
integral duplaB f(x, y) , dx , dy = integral0^pi2 integral0^-x + pi2 cos(2y) raiz4 - sin^2 x , dy , dx
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a .

Passo 4

Vamos calcular a integral interna:
integral0^-x + pi2 cos(2y) , dy
A antiderivada de 12 sin(2y) |0^-x + pi2 = 12 [ sin(2(-x + pi2)) - sin(0) ] é = 12 sin(-2x + pi) , então:
= 12 sin(pi - 2x)
= 12 sin(2x)
integral duplaB f(x, y) , dx , dy = integral0^pi2 12 sin(2x) raiz4 - sin^2 x , dx
Como , fica:
Então, a integral ficou:

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral:
12 integral0^pi2 sin(2x) raiz4 - sin^2 x , dx
Vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja sin(2x) , dx = 2 sin x cos x , dx = 2u , du , então 12 integral0^1 2u raiz4 - u^2 , du = integral0^1 u raiz4 - u^2 , du . Mas temos integralv=4^v=3 raizv ( -12 ) dv = 12 integral3^4 raizv , dv , então:
12 [ 23 v^3/2 ]3^4 = 13 (4^3/2 - 3^3/2)
Quando = 13 (8 - 3raiz3) , = 8 - 3raiz33 ; e quando , . Então, a integral fica:
Agora, vamos usar outra substituição. Seja , então ou . A integral fica:
Integrando:

Resposta

A integral dupla vale .

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