Calcule , sendo dados: e o triângulo de vértices .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla de uma função sobre a região , que é um triângulo com vértices em , e . Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especialmente integrais duplas e mudança de ordem de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração . Esse triângulo está no primeiro quadrante, limitado por , e a linha que conecta a . A equação dessa linha pode ser encontrada determinando a relação entre e .
A equação da reta que passa pelos pontos e é:
Então, para entre e , varia de a .
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral dupla. Em coordenadas cartesianas, a integral fica:
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a .
Passo 4
Vamos calcular a integral interna:
A antiderivada de é , então:
= 12 sin(2x)
integral duplaB f(x, y) , dx , dy = integral0^pi2 12 sin(2x) raiz4 - sin^2 x , dx
Como , fica:
Então, a integral ficou:
Passo 5
Agora, precisamos resolver a integral:
12 integral0^pi2 sin(2x) raiz4 - sin^2 x , dx
Vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja sin(2x) , dx = 2 sin x cos x , dx = 2u , du , então 12 integral0^1 2u raiz4 - u^2 , du = integral0^1 u raiz4 - u^2 , du . Mas temos integralv=4^v=3 raizv ( -12 ) dv = 12 integral3^4 raizv , dv , então:
12 [ 23 v^3/2 ]3^4 = 13 (4^3/2 - 3^3/2)
Quando = 13 (8 - 3raiz3) , = 8 - 3raiz33 ; e quando , . Então, a integral fica:
Agora, vamos usar outra substituição. Seja , então ou . A integral fica: