Suponha que f e g sejam integráveis em B subset R^2. Mostre que se f(x, y) <= g(x, y), forall(x, y) in B, então
integral duplaB f(x, y) d A <= integral duplaB g(x, y) d A
(Sugestão: defina h(x, y)=g(x, y)-f(x, y). Observe que h(x, y) >= 0 em B e use uma das propriedades vistas em aula).

Passo 1

Beleza, o exercício quer que a gente mostre que se duas funções e são integráveis numa região no plano e sempre é menor ou igual a para todo ponto em , então a integral dupla de sobre também será menor ou igual à integral dupla de sobre . Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades básicas de integrais duplas e manipular as desigualdades das funções.

Passo 2

Primeiro, vamos seguir a dica do exercício e definir uma nova função . Como para todo , isso significa que em .

Passo 3

Agora, vamos pensar na integral dupla de integral duplaB h(x, y) , dA >= 0 sobre a região . Como é sempre maior ou igual a zero, a integral dupla de também será maior ou igual a zero:

Passo 4

Substituindo integral duplaB ( g(x, y) - f(x, y) ) , dA >= 0 pela sua definição, temos:

Passo 5

Podemos separar a integral em duas partes:
integral duplaB g(x, y) , dA - integral duplaB f(x, y) , dA >= 0

Passo 6

Agora, vamos reescrever essa desigualdade para isolar a integral de integral duplaB g(x, y) , dA >= integral duplaB f(x, y) , dA :

Resposta

Portanto, demonstramos que se integral duplaB f(x, y) , dA <= integral duplaB g(x, y) , dA para todo , então

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