Suponha que
e
sejam integráveis em
. Mostre que se
, então
(Sugestão: defina
. Observe que
em
e use uma das propriedades vistas em aula).
Passo 1
Beleza, o exercício quer que a gente mostre que se duas funções
e
são integráveis numa região
no plano
e sempre
é menor ou igual a
para todo ponto
em
, então a integral dupla de
sobre
também será menor ou igual à integral dupla de
sobre
. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades básicas de integrais duplas e manipular as desigualdades das funções.
Passo 2
Primeiro, vamos seguir a dica do exercício e definir uma nova função
. Como
para todo
, isso significa que
em
.
Passo 3
Agora, vamos pensar na integral dupla de
sobre a região
. Como
é sempre maior ou igual a zero, a integral dupla de
também será maior ou igual a zero:
Passo 4
Substituindo
pela sua definição, temos:
Passo 5
Podemos separar a integral em duas partes:
Passo 6
Agora, vamos reescrever essa desigualdade para isolar a integral de
:
Resposta
Portanto, demonstramos que se
para todo
, então