Inverta a ordem de integração.
integral0^1[integralraizx-x^2^raiz2 x f(x, y) d y] d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral dupla:
integral0^1[integralraizx-x^2^raiz2 x f(x, y) , dy] , dx
Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integrais duplas e mudança de ordem de integração. Para resolver, vamos precisar entender como descrever a região de integração no plano e como trocar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região onde a função está sendo integrada. Temos variando de 0 a 1. Para cada valor de , varia de até . Vamos desenhar essas curvas para entender melhor.

Passo 3

Desenhando as curvas:
  1. : Podemos reescrever como , ou seja, .
  2. : Reescrevendo, temos , ou seja, .
Essas curvas delimitam a região de integração no plano .

Passo 4

Para inverter a ordem de integração, precisamos determinar os novos limites para y^2 = x - x^2 Rightarrow x^2 - x + y^2 = 0 e x = 1 pm raiz1 - 4y^22 :
  1. Intervalo de x = 1 - raiz1 - 4y^22 : Observando as curvas, varia de 0 até .
  2. Intervalo de para um dado :
    • A partir de , isolamos e obtemos .
    • A partir de , reescrevemos para encontrar em função de : Resolvendo essa equação quadrática para , temos: Como está entre 0 e 1, consideramos apenas a solução:

Passo 5

Então, combinando as informações:
  • Para de 0 a , a raiz quadrada no denominador existe (porque ).
  • Além disso, observamos que para , a expressão dentro da raiz se torna negativa, o que não é válido no contexto real.
Portanto, a nova ordem de integração será:
  • varia de 0 a .
  • Para cada , varia de até .

Resposta

A ordem de integração invertida é:
integral0^12 [ integraly^22^, 1 - raiz1 - 4 y^22 f(x, y) , dx ] , dy

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