Inverta a ordem de integração.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral dupla:
Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integrais duplas e mudança de ordem de integração. Para resolver, vamos precisar entender como descrever a região de integração no plano
e como trocar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região onde a função
está sendo integrada. Temos
variando de 0 a 1. Para cada valor de
,
varia de
até
. Vamos desenhar essas curvas para entender melhor.
Passo 3
Desenhando as curvas:
-
: Podemos reescrever como , ou seja, . -
: Reescrevendo, temos , ou seja, .
Essas curvas delimitam a região de integração no plano
.
Passo 4
Para inverter a ordem de integração, precisamos determinar os novos limites para
e
:
- Intervalo de
: Observando as curvas, varia de 0 até . - Intervalo de
para um dado : - A partir de
, isolamos e obtemos . - A partir de
, reescrevemos para encontrar em função de : Resolvendo essa equação quadrática para , temos: Como está entre 0 e 1, consideramos apenas a solução:
- A partir de
Passo 5
Então, combinando as informações:
- Para
de 0 a , a raiz quadrada no denominador existe (porque ). - Além disso, observamos que para
, a expressão dentro da raiz se torna negativa, o que não é válido no contexto real.
Portanto, a nova ordem de integração será:
-
varia de 0 a . - Para cada
, varia de até .
Resposta
A ordem de integração invertida é: