Inverta a ordem de integração.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para inverter a ordem de integração da integral dupla dada:
Estamos trabalhando com integrais múltiplas, especificamente integrais duplas, e precisamos entender como mudar a ordem de integração, ou seja, trocar a ordem de
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites atuais de integração. A integral externa é em relação a
de 1 até
, e para cada
,
varia de
até
. Vamos desenhar isso no plano
para visualizar a região.
Passo 3
Desenhando no plano
, temos:
-
varia de 1 a . - Para cada
, vai de até .
Isso significa que a região de integração está limitada pelas curvas
e
, entre
e
.
Passo 4
Agora, para inverter a ordem de integração, queremos expressar
em termos de
e mudar os limites. Precisamos determinar para cada
, quais são os valores de
.
Observando as curvas:
- A curva
pode ser reescrita como . - A curva
já está em termos de .
Também, vemos que
varia de
até
, mas na verdade, observando os pontos de interseção das curvas
e
, encontramos que elas se encontram em
e
.
Passo 5
Então, os novos limites serão:
-
varia de 0 a 1 (pois de para vai de 0 para 1). - Para cada
, varia de até .
Mas na verdade, ao resolver
e
, encontramos que a região correta é:
-
varia de 0 a 1. - Para cada
, varia de até .
Resposta
A ordem de integração invertida fica: