Inverta a ordem de integração.
integral1^e[integralln x^x f(x, y) d y] d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para inverter a ordem de integração da integral dupla dada:
integral1^e[integralln x^x f(x, y) , dy] , dx
Estamos trabalhando com integrais múltiplas, especificamente integrais duplas, e precisamos entender como mudar a ordem de integração, ou seja, trocar a ordem de e . Para isso, vamos precisar identificar a região de integração no plano e depois reescrever os limites de integração com primeiro e depois.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites atuais de integração. A integral externa é em relação a de 1 até , e para cada , varia de até . Vamos desenhar isso no plano para visualizar a região.

Passo 3

Desenhando no plano , temos:
  • varia de 1 a .
  • Para cada , vai de até .
Isso significa que a região de integração está limitada pelas curvas e , entre e .

Passo 4

Agora, para inverter a ordem de integração, queremos expressar em termos de e mudar os limites. Precisamos determinar para cada , quais são os valores de .
Observando as curvas:
  • A curva pode ser reescrita como .
  • A curva já está em termos de .
Também, vemos que varia de até , mas na verdade, observando os pontos de interseção das curvas e , encontramos que elas se encontram em e .

Passo 5

Então, os novos limites serão:
  • varia de 0 a 1 (pois de para vai de 0 para 1).
  • Para cada , varia de até .
Mas na verdade, ao resolver e , encontramos que a região correta é:
  • varia de 0 a 1.
  • Para cada , varia de até .

Resposta

A ordem de integração invertida fica:
integral0^1[integrale^y^e f(x, y) , dx] , dy

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