Calcule , sendo dados:
e a região compreendida entre os gráficos das funções e , com .

Passo 1

Vamos calcular a integral dupla , onde e é a região entre as curvas e no intervalo . Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a região de integração . Ela está delimitada pelas curvas e entre e . Para visualizar, imagine duas linhas: uma reta crescente ( ) e uma curva exponencial ( ) que cresce mais rapidamente. Entre e , está acima de .

Passo 3

Vamos configurar a integral dupla. Para isso, fixamos um valor de entre 0 e 1 e integramos de até . A integral fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Separando os termos:
Calculando cada parte:
Então, a integral interna é:

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa e resolvemos em relação a :
Simplificando:
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 6

Resolvendo :
Usamos integração por partes, onde e . Então, e .
Avaliado de 0 a 1:

Passo 7

Resolvendo :
Avaliado de 0 a 1:

Passo 8

Resolvendo :
Avaliado de 0 a 1:

Passo 9

Resolvendo :
Avaliado de 0 a 1:

Passo 10

Agora, somamos todos os resultados:
Simplificando os termos constantes:
Então, a expressão fica:

Resposta

A integral dupla é igual a .

Exercícios relacionados

Calcule , sendo dados:
e o conjunto de todos os pontos tais que .
Calcule o volume do conjunto dado.
e .
Inverta a ordem de integração.
Inverta a ordem de integração.