Calcule integral duplaB f(x, y) d x d y, sendo dados:
f(x, y)=x+y e B a região compreendida entre os gráficos das funções y=x e y=e^x, com 0 <= x <= 1.

Passo 1

Vamos calcular a integral dupla integral duplaB f(x, y) , dx , dy, onde f(x, y) = x + y e B é a região entre as curvas y = x e y = e^x no intervalo 0 <= x <= 1. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a região de integração B. Ela está delimitada pelas curvas y = x e y = e^x entre x = 0 e x = 1. Para visualizar, imagine duas linhas: uma reta crescente ( y = x) e uma curva exponencial ( y = e^x) que cresce mais rapidamente. Entre x = 0 e x = 1, y = e^x está acima de y = x.

Passo 3

Vamos configurar a integral dupla. Para isso, fixamos um valor de x entre 0 e 1 e integramos y de y = x até y = e^x. A integral fica:
integral duplaB (x + y) , dx , dy = integral0^1 ( integralx^e^x (x + y) , dy ) dx

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a y:
integralx^e^x (x + y) , dy
Separando os termos:
integralx^e^x x , dy + integralx^e^x y , dy
Calculando cada parte:
x integralx^e^x dy = x [y]x^e^x = x (e^x - x)
integralx^e^x y , dy = [ 12 y^2 ]x^e^x = 12 (e^2x - x^2)
Então, a integral interna é:
x (e^x - x) + 12 (e^2x - x^2)

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa e resolvemos em relação a x:
integral0^1 ( x (e^x - x) + 12 (e^2x - x^2) ) dx
Simplificando:
integral0^1 x e^x , dx - integral0^1 x^2 , dx + 12 integral0^1 e^2x , dx - 12 integral0^1 x^2 , dx
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 6

Resolvendo integral0^1 x e^x , dx:
Usamos integração por partes, onde u = x e dv = e^x dx. Então, du = dx e v = e^x.
integral x e^x , dx = x e^x - integral e^x , dx = x e^x - e^x + C
Avaliado de 0 a 1:
(1 cdot e^1 - e^1) - (0 cdot e^0 - e^0) = 0 - (-1) = 1

Passo 7

Resolvendo integral0^1 x^2 , dx:
integral x^2 , dx = 13 x^3 + C
Avaliado de 0 a 1:
13 (1) - 13 (0) = 13

Passo 8

Resolvendo 12 integral0^1 e^2x , dx:
12 integral e^2x , dx = 12 cdot 12 e^2x + C = 14 e^2x + C
Avaliado de 0 a 1:
14 (e^2 - 1)

Passo 9

Resolvendo -12 integral0^1 x^2 , dx:
-12 cdot 13 x^3 + C = -16 x^3 + C
Avaliado de 0 a 1:
-16 (1) + 16 (0) = -16

Passo 10

Agora, somamos todos os resultados:
1 - 13 + 14 (e^2 - 1) - 16
Simplificando os termos constantes:
1 - 13 - 16 = 66 - 26 - 16 = 36 = 12
Então, a expressão fica:
12 + e^2 - 14 = 1 + e^24

Resposta

A integral dupla é igual a dfrac1 + e^24.

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