Calcule
, sendo dados:
e
a região compreendida entre os gráficos das funções
e
, com
.
Passo 1
Vamos calcular a integral dupla
, onde
e
é a região entre as curvas
e
no intervalo
. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a região de integração
. Ela está delimitada pelas curvas
e
entre
e
. Para visualizar, imagine duas linhas: uma reta crescente (
) e uma curva exponencial (
) que cresce mais rapidamente. Entre
e
,
está acima de
.
Passo 3
Vamos configurar a integral dupla. Para isso, fixamos um valor de
entre 0 e 1 e integramos
de
até
. A integral fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Separando os termos:
Calculando cada parte:
Então, a integral interna é:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa e resolvemos em relação a
:
Simplificando:
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
Passo 6
Resolvendo
:
Usamos integração por partes, onde
e
. Então,
e
.
Avaliado de 0 a 1:
Passo 7
Resolvendo
:
Avaliado de 0 a 1:
Passo 8
Resolvendo
:
Avaliado de 0 a 1:
Passo 9
Resolvendo
:
Avaliado de 0 a 1:
Passo 10
Agora, somamos todos os resultados:
Simplificando os termos constantes:
Então, a expressão fica:
Resposta
A integral dupla é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule
, sendo dados:
e
o conjunto de todos os pontos
tais que
.
Calcule o volume do conjunto
dado.
e
.
Inverta a ordem de integração.
Inverta a ordem de integração.