Inverta a ordem de integração.
integral0^3 a[integralraiz33 x^raiz4 a x-x^2 f(x, y) d y] d x(a>0)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma integral dupla onde primeiro integramos em relação a e depois em relação a . O trabalho aqui é inverter a ordem de integração, ou seja, primeiro integrar em relação a e depois em relação a . Para isso, vamos precisar entender bem os limites de integração e como eles definem a região que estamos integrando.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites atuais de integração. A integral está definida de até . Para cada valor de , varia de até .

Passo 3

Vamos desenhar essa região no plano para visualizar melhor. A curva é uma linha reta que passa pela origem com inclinação . A outra curva, , pode ser reescrita como , que é uma semicircunferência com raio e centro em .

Passo 4

Agora, para inverter a ordem de integração, precisamos expressar x = 4a pm raiz(4a)^2 - 4 cdot 1 cdot y^22 = 2a pm raiz4a^2 - y^2 em função de . Observando a curva semicircular , podemos rearranjar para . Resolvendo essa equação quadrática para , usamos a fórmula de Bhaskara:
Como varia de 0 a , a solução relevante é para o limite inferior e para o limite superior.

Passo 5

Determinar os novos limites de integração para . Observando as interseções das curvas, quando , substituindo na equação . Então, varia de 0 a .

Passo 6

Com todos os limites identificados, podemos escrever a integral com a ordem de integração invertida. Agora, varia de 0 a , e para cada , varia de até .

Resposta

A ordem de integração invertida é dada por:
integral0^araiz3 [ integral2a - raiz4a^2 - y^2^raiz33 y f(x, y) , dx ] dy

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