Inverta a ordem de integração.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma integral dupla onde primeiro integramos em relação a
e depois em relação a
. O trabalho aqui é inverter a ordem de integração, ou seja, primeiro integrar em relação a
e depois em relação a
. Para isso, vamos precisar entender bem os limites de integração e como eles definem a região que estamos integrando.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites atuais de integração. A integral está definida de
até
. Para cada valor de
,
varia de
até
.
Passo 3
Vamos desenhar essa região no plano
para visualizar melhor. A curva
é uma linha reta que passa pela origem com inclinação
. A outra curva,
, pode ser reescrita como
, que é uma semicircunferência com raio
e centro em
.
Passo 4
Agora, para inverter a ordem de integração, precisamos expressar
em função de
. Observando a curva semicircular
, podemos rearranjar para
. Resolvendo essa equação quadrática para
, usamos a fórmula de Bhaskara:
Como
varia de 0 a
, a solução relevante é
para o limite inferior e
para o limite superior.
Passo 5
Determinar os novos limites de integração para
. Observando as interseções das curvas, quando
, substituindo na equação
. Então,
varia de 0 a
.
Passo 6
Com todos os limites identificados, podemos escrever a integral com a ordem de integração invertida. Agora,
varia de 0 a
, e para cada
,
varia de
até
.
Resposta
A ordem de integração invertida é dada por: