Calcule o volume do conjunto S dado.
S = {(x, y, z) em R^3 : 0 <= z <= sen(y^3)} e raiz(x) <= y <= raiz(cubo(pi)).

Passo 1

Vamos calcular o volume do conjunto definido por:
Esse problema envolve cálculo de integrais múltiplas, especificamente uma integral tripla para encontrar o volume de uma região no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, identificamos os limites de integração para cada variável:
  • varia de até .
  • varia de até .
  • Precisamos determinar os limites para .

Passo 3

Para encontrar os limites de , observamos que . Rearranjando, temos . Como pode ir até , o valor máximo de é . Portanto, varia de até .

Passo 4

Agora, configuramos a integral tripla para o volume :

Passo 5

Integrando em relação a :
Então, a integral se simplifica para:

Passo 6

Integrando em relação a :
Agora, a integral fica:

Passo 7

Fazemos a substituição , então ou . Alterando os limites:
  • Quando , .
  • Quando , .
A integral torna-se:

Passo 8

Integrando :
Portanto:

Resposta

O volume do conjunto é unidades cúbicas.

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