Calcule o volume do conjunto
dado.
e
.
Passo 1
Vamos calcular o volume do conjunto
definido por:
Esse problema envolve cálculo de integrais múltiplas, especificamente uma integral tripla para encontrar o volume de uma região no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, identificamos os limites de integração para cada variável:
-
varia de até . -
varia de até . - Precisamos determinar os limites para
.
Passo 3
Para encontrar os limites de
, observamos que
. Rearranjando, temos
. Como
pode ir até
, o valor máximo de
é
. Portanto,
varia de
até
.
Passo 4
Agora, configuramos a integral tripla para o volume
:
Passo 5
Integrando em relação a
:
Então, a integral se simplifica para:
Passo 6
Integrando em relação a
:
Agora, a integral fica:
Passo 7
Fazemos a substituição
, então
ou
. Alterando os limites:
- Quando
, . - Quando
, .
A integral torna-se:
Passo 8
Integrando
:
Portanto:
Resposta
O volume do conjunto
é
unidades cúbicas.