Calcule integral duplaB f(x, y) d x d y, sendo dados:
f(x, y)=x^2 e B o conjunto de todos os pontos (x, y) tais que x <= y <=-x^2+2 x+2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular a integral dupla de sobre a região , que é definida por todos os pontos onde . Isso envolve conceitos de cálculo multivariado, especificamente integração em duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender os limites de integração e como configurar a integral dupla.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região x = -x^2 + 2x + 2 . Ela é definida pelas desigualdades x^2 - x - 2 = 0 e (x - 2)(x + 1) = 0 Rightarrow x = 2 ou x = -1 . Para visualizar melhor, vamos desenhar essas curvas:
  1. é uma reta que passa pela origem com inclinação 45 graus.
  2. é uma parábola que abre para baixo.
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas para determinar os limites de . Igualando as duas equações:
Resolvendo para :
Fatorando:
Então, os limites de vão de a .

Passo 3

Agora que temos os limites de , vamos determinar os limites de para cada . A desigualdade nos diz que, para cada entre e , varia de até .

Passo 4

Com os limites definidos, podemos configurar a integral dupla:
integral duplaB x^2 , dy , dx = integralx=-1^2 integraly=x^-x^2 + 2x + 2 x^2 , dy , dx
Vamos primeiro integrar com relação a integraly=x^-x^2 + 2x + 2 x^2 , dy = x^2 [ y ]y=x^-x^2 + 2x + 2 = x^2 ( (-x^2 + 2x + 2) - x ) = x^2 (-x^2 + x + 2) :
integral-1^2 x^2 (-x^2 + x + 2) , dx = integral-1^2 (-x^4 + x^3 + 2x^2) , dx
Agora, precisamos integrar essa expressão com respeito a :

Passo 5

Vamos calcular a integral termo a termo:
integral (-x^4) , dx = -x^55
integral x^3 , dx = x^44
integral 2x^2 , dx = 2x^33
Então, a integral completa fica:
-x^55 + x^44 + 2x^33 gr|-1^2
Agora, substituímos os limites -325 + 164 + 163 = -325 + 4 + 163 e -9615 + 6015 + 8015 = (-96 + 60 + 80)15 = 4415 :
Para -(-1)^55 + (-1)^44 + 2(-1)^33 = 15 + 14 - 23 :
1260 + 1560 - 4060 = (-13)60
Convertendo para denominador comum (15):
4415 - ( -1360 ) = 4415 + 1360 = 17660 + 1360 = 18960 = 6320
Para :
Convertendo para denominador comum (60):
Subtraindo os dois resultados:

Resposta

A integral dupla é igual a .

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