Calcule , sendo dados: e o conjunto de todos os pontos tais que .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular a integral dupla de sobre a região , que é definida por todos os pontos onde . Isso envolve conceitos de cálculo multivariado, especificamente integração em duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender os limites de integração e como configurar a integral dupla.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região . Ela é definida pelas desigualdades e . Para visualizar melhor, vamos desenhar essas curvas:
é uma reta que passa pela origem com inclinação 45 graus.
é uma parábola que abre para baixo.
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas para determinar os limites de . Igualando as duas equações:
Resolvendo para :
Fatorando:
Então, os limites de vão de a .
Passo 3
Agora que temos os limites de , vamos determinar os limites de para cada . A desigualdade nos diz que, para cada entre e , varia de até .
Passo 4
Com os limites definidos, podemos configurar a integral dupla:
Vamos primeiro integrar com relação a :
Agora, precisamos integrar essa expressão com respeito a :