Calcule integral duplaB f(x, y) d x d y, sendo dados:
f(x, y)=x+y e B o paralelogramo de vértices (0,0),(1,1),(3,1) e (2,0).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla de sobre a região , que é um paralelogramo com vértices nos pontos , , e . Isso envolve conceitos de cálculo integral multivariado, especificamente integrais duplas sobre regiões planas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . Os vértices , , e formam um paralelogramo inclinado no plano. Para facilitar o cálculo da integral, é útil fazer uma mudança de coordenadas que transforme esse paralelogramo em um retângulo.

Passo 3

Identificamos os vetores que definem o paralelogramo. Observamos que um lado vai de a e o outro de a . Esses vetores serão usados para definir a matriz de transformação.

Passo 4

A matriz de transformação A = 1 & 2 1 & 0 é dada por:
det(A) = (1)(0) - (2)(1) = -2
Calculamos o determinante dessa matriz para ajustar a integral após a mudança de coordenadas:
O valor absoluto do determinante é .

Passo 5

Definimos novas variáveis x = u + 2v y = u e para transformar as coordenadas:
Essa mudança de coordenadas mapeia o paralelogramo para um retângulo no plano onde e variam de 0 a 1.

Passo 6

Substituímos f(x, y) = x + y = (u + 2v) + u = 2u + 2v e na função :

Passo 7

A integral dupla original se transforma na integral sobre o retângulo integral duplaB f(x, y) , dx , dy = integral dupla[0,1] times [0,1] (2u + 2v) times 2 , du , dv multiplicada pelo valor absoluto do determinante:
2 integral0^1 integral0^1 (2u + 2v) , du , dv
Ou seja:

Passo 8

Primeiro, calculamos a integral interna em relação a integral0^1 (2u + 2v) , du = [ u^2 + 2v u ]0^1 = 1 + 2v :

Passo 9

Agora, integramos o resultado em relação a 2 integral0^1 (1 + 2v) , dv = 2 [ v + v^2 ]0^1 = 2 (1 + 1) = 4 :

Resposta

O valor da integral dupla é .

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