Calcule , sendo dados:
e o paralelogramo de vértices e .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla de sobre a região , que é um paralelogramo com vértices nos pontos , , e . Isso envolve conceitos de cálculo integral multivariado, especificamente integrais duplas sobre regiões planas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . Os vértices , , e formam um paralelogramo inclinado no plano. Para facilitar o cálculo da integral, é útil fazer uma mudança de coordenadas que transforme esse paralelogramo em um retângulo.

Passo 3

Identificamos os vetores que definem o paralelogramo. Observamos que um lado vai de a e o outro de a . Esses vetores serão usados para definir a matriz de transformação.

Passo 4

A matriz de transformação é dada por:
Calculamos o determinante dessa matriz para ajustar a integral após a mudança de coordenadas:
O valor absoluto do determinante é .

Passo 5

Definimos novas variáveis e para transformar as coordenadas:
Essa mudança de coordenadas mapeia o paralelogramo para um retângulo no plano onde e variam de 0 a 1.

Passo 6

Substituímos e na função :

Passo 7

A integral dupla original se transforma na integral sobre o retângulo multiplicada pelo valor absoluto do determinante:
Ou seja:

Passo 8

Primeiro, calculamos a integral interna em relação a :

Passo 9

Agora, integramos o resultado em relação a :

Resposta

O valor da integral dupla é .

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.
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