Calcule
, sendo dados:
e
o paralelogramo de vértices
e
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla de
sobre a região
, que é um paralelogramo com vértices nos pontos
,
,
e
. Isso envolve conceitos de cálculo integral multivariado, especificamente integrais duplas sobre regiões planas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. Os vértices
,
,
e
formam um paralelogramo inclinado no plano. Para facilitar o cálculo da integral, é útil fazer uma mudança de coordenadas que transforme esse paralelogramo em um retângulo.
Passo 3
Identificamos os vetores que definem o paralelogramo. Observamos que um lado vai de
a
e o outro de
a
. Esses vetores serão usados para definir a matriz de transformação.
Passo 4
A matriz de transformação
é dada por:
Calculamos o determinante dessa matriz para ajustar a integral após a mudança de coordenadas:
O valor absoluto do determinante é
.
Passo 5
Definimos novas variáveis
e
para transformar as coordenadas:
Essa mudança de coordenadas mapeia o paralelogramo
para um retângulo no plano
onde
e
variam de 0 a 1.
Passo 6
Substituímos
e
na função
:
Passo 7
A integral dupla original se transforma na integral sobre o retângulo
multiplicada pelo valor absoluto do determinante:
Ou seja:
Passo 8
Primeiro, calculamos a integral interna em relação a
:
Passo 9
Agora, integramos o resultado em relação a
:
Resposta
O valor da integral dupla é
.
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Calcule o volume do conjunto
dado.
.
Calcule o volume do conjunto
dado.
e
.
Calcule
, sendo dados:
e
o conjunto de todos os pontos
tais que
e
.
Inverta a ordem de integração.