Inverta a ordem de integração.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem uma integral dupla, que é basicamente uma integral dentro de outra, e o objetivo é inverter a ordem de integração. Isso faz parte do conteúdo de cálculo multivariável, onde a gente aprende a trabalhar com integrais sobre regiões no plano. Para resolver isso, vamos precisar entender os limites de integração atuais e reorganizá-los para trocar a ordem de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. A integral que a gente tem é:
Aqui,
varia de
a
, e para cada
,
varia de
até
.
Passo 3
Agora, vamos representar essas funções de
em termos de
para entender melhor a região. Vamos chamar:
Para inverter a ordem de integração, precisamos expressar
em função de
.
Passo 4
Primeiro, resolvemos
para
:
Essa será uma das fronteiras para
quando fixarmos
.
Passo 5
Agora, resolvemos
para
:
Como
varia de
a
, consideramos os valores reais onde
, ou seja,
, o que dá
.
Passo 6
Agora, determinamos os novos limites para
. Observando a expressão
, quando
:
E quando
:
Então,
varia de
até
.
Passo 7
Para cada
no intervalo
,
varia de:
Portanto, a ordem de integração invertida fica com
primeiro e
depois.
Passo 8
Finalmente, escrevemos a integral com a ordem de integração invertida:
Resposta
A ordem de integração invertida é: