Inverta a ordem de integração.
integral-1^2[integralraiz7+5 y^23^y+73 f(x, y) d x] d y

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem uma integral dupla, que é basicamente uma integral dentro de outra, e o objetivo é inverter a ordem de integração. Isso faz parte do conteúdo de cálculo multivariável, onde a gente aprende a trabalhar com integrais sobre regiões no plano. Para resolver isso, vamos precisar entender os limites de integração atuais e reorganizá-los para trocar a ordem de e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. A integral que a gente tem é:
integral-1^2 [ integralraiz7+5 y^23^y+73 f(x, y) , dx ] dy
Aqui, varia de a , e para cada , varia de até .

Passo 3

Agora, vamos representar essas funções de x = raiz7+5 y^23 e x = y+73 em termos de para entender melhor a região. Vamos chamar:
Para inverter a ordem de integração, precisamos expressar em função de .

Passo 4

Primeiro, resolvemos y = 3x - 7 para :
Essa será uma das fronteiras para quando fixarmos .

Passo 5

Agora, resolvemos x^2 = 7 + 5 y^23 implies 3x^2 = 7 + 5 y^2 implies 5 y^2 = 3x^2 - 7 implies y^2 = 3x^2 - 75 para y = pm raiz3x^2 - 75 :
Como varia de a , consideramos os valores reais onde , ou seja, , o que dá .

Passo 6

Agora, determinamos os novos limites para x = -1 + 73 = 2 . Observando a expressão x = 2 + 73 = 3 , quando :
E quando :
Então, varia de até .

Passo 7

Para cada y = 3x - 7 até y = raiz3x^2 - 75 no intervalo , varia de:
é
Portanto, a ordem de integração invertida fica com primeiro e depois.

Passo 8

Finalmente, escrevemos a integral com a ordem de integração invertida:
integralraiz73^3 [ integral3x - 7^raiz3x^2 - 75 f(x, y) , dy ] dx

Resposta

A ordem de integração invertida é:
integralraiz73^3 [ integral3x - 7^raiz3x^2 - 75 f(x, y) , dy ] dx

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