Calcule o volume do conjunto
dado.
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o volume do conjunto
definido por:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo de volume em três dimensões, usando integrais múltiplas. Para resolver, vamos precisar entender geometria analítica e cálculo de integrais duplas e triplas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o conjunto
. As condições
e
significam que estamos no primeiro quadrante do plano
. A condição
define uma região triangular nessa área.
A última condição,
, nos diz que para cada ponto
na região definida,
varia de 0 até
. Isso significa que a superfície superior do conjunto
é dada pela função
.
Passo 3
Para encontrar o volume, vamos integrar a função
sobre a região triangular no plano
. A fórmula para o volume
é dada por:
onde
é a região triangular definida por
,
e
.
Passo 4
Vamos definir os limites de integração. Como
, podemos expressar
em função de
:
. Então, para cada
entre 0 e 1,
vai de 0 a
.
Portanto, os limites de integração são:
Passo 5
Agora, configuramos a integral dupla:
Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a
:
Passo 6
Agora, integramos essa expressão em relação a
:
Vamos expandir e simplificar:
Passo 7
Integrando termo a termo:
Substituindo
e
:
Como volume não pode ser negativo, consideramos o valor absoluto:
Resposta
O volume do conjunto
é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Utilizando integral dupla, calcule a área do conjunto
dado.
B é o conjunto de todos os pontos tais que
e
.
B é o conjunto de todos os pontos
Inverta a ordem de integração.
Calcule o volume do conjunto
dado.
.
Calcule
, sendo dados:
e
o paralelogramo de vértices
e
.