Calcule o volume do conjunto S dado.
S = {(x, y, z) ∈ R³ | x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1} e 0 <= z <= x^2 + y^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o volume do conjunto definido por:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo de volume em três dimensões, usando integrais múltiplas. Para resolver, vamos precisar entender geometria analítica e cálculo de integrais duplas e triplas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o conjunto . As condições e significam que estamos no primeiro quadrante do plano . A condição define uma região triangular nessa área.
A última condição, , nos diz que para cada ponto na região definida, varia de 0 até . Isso significa que a superfície superior do conjunto é dada pela função .

Passo 3

Para encontrar o volume, vamos integrar a função sobre a região triangular no plano . A fórmula para o volume é dada por:
onde é a região triangular definida por , e .

Passo 4

Vamos definir os limites de integração. Como , podemos expressar em função de : . Então, para cada entre 0 e 1, vai de 0 a .
Portanto, os limites de integração são:

Passo 5

Agora, configuramos a integral dupla:
Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a :

Passo 6

Agora, integramos essa expressão em relação a :
Vamos expandir e simplificar:

Passo 7

Integrando termo a termo:
Substituindo e :
Como volume não pode ser negativo, consideramos o valor absoluto:

Resposta

O volume do conjunto é unidades cúbicas.

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