Calcule o volume do conjunto
dado.
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o volume do conjunto
no espaço tridimensional definido por
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais triplas.
Passo 2
Vamos visualizar o conjunto
. As desigualdades
e
definem as fronteiras do volume que queremos calcular. Isso significa que, para cada ponto
, o valor de
varia entre
e
.
Passo 3
Para calcular o volume, configuraremos uma integral tripla. A ordem das integrais será
,
e depois
. Primeiro, integraremos em
de
até
.
Passo 4
Precisamos determinar os limites para
e
. A desigualdade
simplifica para
. Portanto, para cada
,
varia de
a
.
Passo 5
Além disso, para que
, temos que
. Isso implica que
varia de
a
.
Passo 6
Agora, montamos a integral tripla para o volume:
Passo 7
Vamos resolver a integral em
primeiro:
Passo 8
Substituindo na integral, temos:
Passo 9
Agora, resolvemos a integral em
:
Passo 10
Simplificando, temos:
Passo 11
Devido à simetria da função, podemos calcular de
a
e multiplicar por 2:
Passo 12
Efetuando a integração, obtemos:
Resposta
O volume do conjunto
é
.
Exercícios relacionados
Calcule o volume do conjunto
dado.
e
.
Utilizando integral dupla, calcule a área do conjunto
dado.
B é o conjunto de todos os pontos tais que
e
.
B é o conjunto de todos os pontos
Calcule
, sendo dados:
e
o paralelogramo de vértices
e
.
Calcule
, sendo dados:
e
o conjunto de todos os pontos
tais que
e
.