Calcule o volume do conjunto S dado.
S = {(x, y, z) em R^3 : x^2 + y^2 <= z <= 1 - x^2}.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o volume do conjunto no espaço tridimensional definido por . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais triplas.

Passo 2

Vamos visualizar o conjunto . As desigualdades e definem as fronteiras do volume que queremos calcular. Isso significa que, para cada ponto , o valor de varia entre e .

Passo 3

Para calcular o volume, configuraremos uma integral tripla. A ordem das integrais será , e depois . Primeiro, integraremos em de até .

Passo 4

Precisamos determinar os limites para e . A desigualdade simplifica para . Portanto, para cada , varia de a .

Passo 5

Além disso, para que , temos que . Isso implica que varia de a .

Passo 6

Agora, montamos a integral tripla para o volume:

Passo 7

Vamos resolver a integral em primeiro:

Passo 8

Substituindo na integral, temos:

Passo 9

Agora, resolvemos a integral em :

Passo 10

Simplificando, temos:

Passo 11

Devido à simetria da função, podemos calcular de a e multiplicar por 2:

Passo 12

Efetuando a integração, obtemos:

Resposta

O volume do conjunto é .

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