Calcule integral duplaB f(x, y) d x d y, sendo dados:
f(x, y)=yx+y^2 e B o conjunto de todos os pontos (x, y) tais que 1 <= x <= 4 e 0 <= y <= raizx.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de uma função sobre a região , que é definida por e . Isso está ligado ao conteúdo de cálculo integral, mais precisamente às integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar a integral dupla e integrar a função passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região onde vamos integrar. A região está limitada por entre 1 e 4, e entre 0 e . Isso significa que para cada valor de entre 1 e 4, varia de 0 até a raiz quadrada de . Vamos desenhar isso no plano cartesiano para entender melhor os limites de integração.

Passo 3

Agora, vamos escrever a integral dupla de forma explícita com esses limites. A integral dupla será:
integral duplaB yx + y^2 , dx , dy = integralx=1^4 integraly=0^raizx yx + y^2 , dy , dx
Aqui, primeiramente integramos em relação a de 0 a , e depois em relação a de 1 a 4.

Passo 4

Vamos resolver a integração interna primeiro, ou seja, integrar integral yu cdot du2y = 12 integral 1u , du = 12 ln|u| + C em relação a 12 ln(x + y^2) |0^raizx = 12 ln(x + (raizx)^2) - 12 ln(x + 0^2) = 12 ln(2x) - 12 ln(x) = 12 ln(2xx) = 12 ln(2) . Para isso, vamos fazer uma substituição simples. Vamos deixar , então a derivada de em relação a é , ou seja, .
Substituindo na integral:
Então, a integral em relação a fica:

Passo 5

Agora que temos o resultado da integral interna, vamos integrar em relação a integral1^4 12 ln(2) , dx = 12 ln(2) cdot (4 - 1) = 12 ln(2) cdot 3 = 32 ln(2) de 1 a 4. Observamos que o resultado da integral interna é constante, , então a integral em relação a fica:

Resposta

A integral dupla é igual a .

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