Calcule , sendo dados:
e o conjunto de todos os pontos tais que e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de uma função sobre a região , que é definida por e . Isso está ligado ao conteúdo de cálculo integral, mais precisamente às integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar a integral dupla e integrar a função passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região onde vamos integrar. A região está limitada por entre 1 e 4, e entre 0 e . Isso significa que para cada valor de entre 1 e 4, varia de 0 até a raiz quadrada de . Vamos desenhar isso no plano cartesiano para entender melhor os limites de integração.

Passo 3

Agora, vamos escrever a integral dupla de forma explícita com esses limites. A integral dupla será:
Aqui, primeiramente integramos em relação a de 0 a , e depois em relação a de 1 a 4.

Passo 4

Vamos resolver a integração interna primeiro, ou seja, integrar em relação a . Para isso, vamos fazer uma substituição simples. Vamos deixar , então a derivada de em relação a é , ou seja, .
Substituindo na integral:
Então, a integral em relação a fica:

Passo 5

Agora que temos o resultado da integral interna, vamos integrar em relação a de 1 a 4. Observamos que o resultado da integral interna é constante, , então a integral em relação a fica:

Resposta

A integral dupla é igual a .

Exercícios relacionados

Calcule , sendo dados:
e o paralelogramo de vértices e .
Calcule o volume do conjunto dado.
.
Inverta a ordem de integração.
Inverta a ordem de integração.
.