Calcule , sendo dados: e o conjunto de todos os pontos tais que e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de uma função sobre a região , que é definida por e . Isso está ligado ao conteúdo de cálculo integral, mais precisamente às integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar a integral dupla e integrar a função passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região onde vamos integrar. A região está limitada por entre 1 e 4, e entre 0 e . Isso significa que para cada valor de entre 1 e 4, varia de 0 até a raiz quadrada de . Vamos desenhar isso no plano cartesiano para entender melhor os limites de integração.
Passo 3
Agora, vamos escrever a integral dupla de forma explícita com esses limites. A integral dupla será:
Aqui, primeiramente integramos em relação a de 0 a , e depois em relação a de 1 a 4.
Passo 4
Vamos resolver a integração interna primeiro, ou seja, integrar em relação a . Para isso, vamos fazer uma substituição simples. Vamos deixar , então a derivada de em relação a é , ou seja, .
Substituindo na integral:
Então, a integral em relação a fica:
Passo 5
Agora que temos o resultado da integral interna, vamos integrar em relação a de 1 a 4. Observamos que o resultado da integral interna é constante, , então a integral em relação a fica: