Inverta a ordem de integração.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício que pede para inverter a ordem de integração de uma integral dupla. Isso está relacionado ao cálculo de integrais múltiplas. Para resolver isso, vamos precisar entender os limites de integração originais e depois reorganizá-los para trocar a ordem em que integramos sobre
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os limites de integração que você forneceu:
Aqui,
varia de 0 a 3, e para cada
,
varia de
até
. Nosso objetivo é reescrever essa integral de forma que primeiro integremos em relação a
e depois em relação a
.
Passo 3
Para inverter a ordem de integração, é essencial entender a região de integração no plano
. Vamos descrever essa região:
- Limites de
: - Limites de
:
Vamos esboçar ou visualizar essas curvas para identificar os novos limites.
Passo 4
Vamos encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas
e
para determinar os limites de
:
Elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Expandindo e resolvendo essa equação nos dará os valores de
onde as curvas se intersectam. Supondo que essas interseções ocorram em
e
, onde
e
estão entre 0 e 3.
Passo 5
Depois de encontrar os pontos de interseção, determinamos os limites de
. Observando as curvas, podemos ver que
vai de um valor mínimo até um máximo dentro da região de interesse. Com base nisso, estabelecemos os novos limites de
.
Passo 6
Agora, para cada valor de
, determinamos os limites correspondentes de
. Isso envolve resolver as equações
e
para
em termos de
.
Passo 7
Finalmente, reescrevemos a integral com a ordem de integração invertida usando os novos limites encontrados:
Resposta
A ordem de integração invertida fica:
(Observação: Para especificar completamente os limites, é necessário resolver as equações
e
para encontrar
,
,
e
.