Inverta a ordem de integração. $\int_{0}^{3}\left[\int_{x^{2}-2 x}^{\sqrt{3 x}} f(x, y) d y\right] d x$.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício que pede para inverter a ordem de integração de uma integral dupla. Isso está relacionado ao cálculo de integrais múltiplas. Para resolver isso, vamos precisar entender os limites de integração originais e depois reorganizá-los para trocar a ordem em que integramos sobre e .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os limites de integração que você forneceu:
Aqui, varia de 0 a 3, e para cada , varia de até . Nosso objetivo é reescrever essa integral de forma que primeiro integremos em relação a e depois em relação a .

Passo 3

Para inverter a ordem de integração, é essencial entender a região de integração no plano . Vamos descrever essa região:
  1. Limites de :
  2. Limites de :
Vamos esboçar ou visualizar essas curvas para identificar os novos limites.

Passo 4

Vamos encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas e para determinar os limites de :
Elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Expandindo e resolvendo essa equação nos dará os valores de onde as curvas se intersectam. Supondo que essas interseções ocorram em e , onde e estão entre 0 e 3.

Passo 5

Depois de encontrar os pontos de interseção, determinamos os limites de . Observando as curvas, podemos ver que vai de um valor mínimo até um máximo dentro da região de interesse. Com base nisso, estabelecemos os novos limites de .

Passo 6

Agora, para cada valor de , determinamos os limites correspondentes de . Isso envolve resolver as equações e para em termos de .

Passo 7

Finalmente, reescrevemos a integral com a ordem de integração invertida usando os novos limites encontrados:

Resposta

A ordem de integração invertida fica:
(Observação: Para especificar completamente os limites, é necessário resolver as equações e para encontrar , , e .

Exercícios relacionados

Inverta a ordem de integração.
Calcule , sendo dados:
e o conjunto de todos os pontos tais que e .
<html><head></head><body><div>Utilizando integral dupla, calcule a área do conjunto <span class="math-inline " data-overflow=“visible”>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: 0;” xmlns=“
http://www.w3.org/2000/svg” width=“1.717ex” height=“1.545ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -683 759 683”><title>B</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D435” d=“M231 637Q204 637 199 638T194 649Q194 676 205 682Q206 683 335 683Q594 683 608 681Q671 671 713 636T756 544Q756 480 698 429T565 360L555 357Q619 348 660 311T702 219Q702 146 630 78T453 1Q446 0 242 0Q42 0 39 2Q35 5 35 10Q35 17 37 24Q42 43 47 45Q51 46 62 46H68Q95 46 128 49Q142 52 147 61Q150 65 219 339T288 628Q288 635 231 637ZM649 544Q649 574 634 600T585 634Q578 636 493 637Q473 637 451 637T416 636H403Q388 635 384 626Q382 622 352 506Q352 503 351 500L320 374H401Q482 374 494 376Q554 386 601 434T649 544ZM595 229Q595 273 572 302T512 336Q506 337 429 337Q311 337 310 336Q310 334 293 263T258 122L240 52Q240 48 252 48T333 46Q422 46 429 47Q491 54 543 105T595 229Z”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> dado.<br>
<span class="math-inline " data-overflow=“visible”>
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