Inverta a ordem de integração.
integral0^3[integralx^2-2 x^raiz3 x f(x, y) d y] d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício que pede para inverter a ordem de integração de uma integral dupla. Isso está relacionado ao cálculo de integrais múltiplas. Para resolver isso, vamos precisar entender os limites de integração originais e depois reorganizá-los para trocar a ordem em que integramos sobre e .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os limites de integração que você forneceu:
integral0^3[integralx^2 - 2x^raiz3x f(x, y) , dy] dx
Aqui, varia de 0 a 3, e para cada , varia de até . Nosso objetivo é reescrever essa integral de forma que primeiro integremos em relação a e depois em relação a .

Passo 3

Para inverter a ordem de integração, é essencial entender a região de integração no plano . Vamos descrever essa região:
  1. Limites de :
  2. Limites de :
Vamos esboçar ou visualizar essas curvas para identificar os novos limites.

Passo 4

Vamos encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas x^2 - 2x = raiz3x e (x^2 - 2x)^2 = 3x para determinar os limites de :
Elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Expandindo e resolvendo essa equação nos dará os valores de onde as curvas se intersectam. Supondo que essas interseções ocorram em e , onde e estão entre 0 e 3.

Passo 5

Depois de encontrar os pontos de interseção, determinamos os limites de . Observando as curvas, podemos ver que vai de um valor mínimo até um máximo dentro da região de interesse. Com base nisso, estabelecemos os novos limites de .

Passo 6

Agora, para cada valor de , determinamos os limites correspondentes de . Isso envolve resolver as equações e para em termos de .

Passo 7

Finalmente, reescrevemos a integral com a ordem de integração invertida usando os novos limites encontrados:
integralymin^ymax [ integralxesquerda(y)^xdireita(y) f(x, y) , dx ] dy

Resposta

A ordem de integração invertida fica:
integralymin^ymax [ integralxesquerda(y)^xdireita(y) f(x, y) , dx ] dy
(Observação: Para especificar completamente os limites, é necessário resolver as equações e para encontrar , , e .

Exercícios relacionados