Calcule
sendo dados
e
o retângulo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de uma função
sobre o retângulo
, onde
e
. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente de integrais múltiplas. Vamos precisar entender como integrar funções de duas variáveis e como aplicar os limites de integração corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a integral dupla
representa o volume sob a superfície da função
sobre a região
. Para resolver isso, a gente vai integrar a função primeiro em relação a
e depois em relação a
, ou vice-versa. Vamos optar por integrar primeiro em
.
Passo 3
Vamos fixar
e integrar
em relação a
de 0 a 1:
Aqui,
é tratado como uma constante durante a integração em
.
Passo 4
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Vamos deixar
. Então,
, ou seja,
.
Substituindo na integral:
Voltando para a variável original
:
Passo 5
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
:
Passo 6
Agora, temos que integrar o resultado em relação a
de 1 a 2:
Vamos resolver cada integral separadamente.
Passo 7
Primeiro, a integral
. Aqui, usamos substituição novamente. Deixe
, então
, ou
.
Substituindo:
Passo 8
Agora, a segunda integral
:
Passo 9
Voltando à integral original, combinando os resultados:
Resposta
O valor da integral dupla é
.
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e
.
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.