Calcule integral duplaB f(x, y) d x d y sendo dados f(x, y)=y^3 e^x y^2 e B o retângulo 0 <= x <= 1,1 <= y <= 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla de uma função sobre o retângulo , onde e . Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente de integrais múltiplas. Vamos precisar entender como integrar funções de duas variáveis e como aplicar os limites de integração corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a integral dupla representa o volume sob a superfície da função sobre a região . Para resolver isso, a gente vai integrar a função primeiro em relação a e depois em relação a , ou vice-versa. Vamos optar por integrar primeiro em .

Passo 3

Vamos fixar integral0^1 y^3 e^x y^2 , dx e integrar em relação a de 0 a 1:
Aqui, é tratado como uma constante durante a integração em .

Passo 4

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Vamos deixar integral y^3 e^u cdot duy^2 = y integral e^u , du = y e^u + C . Então, y e^x y^2 + C , ou seja, .
Substituindo na integral:
Voltando para a variável original :

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração de y e^(1) y^2 - y e^(0) y^2 = y e^y^2 - y e^0 = y e^y^2 - y a :

Passo 6

Agora, temos que integrar o resultado em relação a integral1^2 (y e^y^2 - y) , dy = integral1^2 y e^y^2 , dy - integral1^2 y , dy de 1 a 2:
Vamos resolver cada integral separadamente.

Passo 7

Primeiro, a integral 12 integral e^v , dv = 12 e^v + C = 12 e^y^2 + C . Aqui, usamos substituição novamente. Deixe , então , ou .
Substituindo:

Passo 8

Agora, a segunda integral 12 y^2 + C :

Passo 9

Voltando à integral original, combinando os resultados:
[ 12 e^y^2 ]1^2 - [ 12 y^2 ]1^2 = 12 (e^4 - e^1) - 12 (4 - 1) = 12 e^4 - 12 e - 32

Resposta

O valor da integral dupla é .

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