Calcule o volume do conjunto dado
e
.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para calcular o volume de um conjunto de pontos no espaço tridimensional que satisfaz duas condições:
e
, onde
. Isso está relacionado à geometria no espaço e ao cálculo de volumes de sólidos definidos por equações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que essas inequações representam. A inequação
descreve um cilindro infinito ao longo do eixo
, com raio
. Da mesma forma,
descreve outro cilindro infinito, mas agora ao longo do eixo
, também com raio
. Então, estamos lidando com a interseção de dois cilindros perpendiculares.
Passo 3
Quando temos dois cilindros perpendiculares com o mesmo raio, a região comum a ambos forma uma figura conhecida como sólido de Steinmetz. O volume desse sólido pode ser calculado usando uma fórmula específica derivada por integração.
Passo 4
A fórmula para o volume
do sólido de Steinmetz, onde os dois cilindros têm raio
, é dada por:
Portanto, aplicando essa fórmula diretamente, obtemos o volume desejado.
Resposta
O volume do conjunto é
.
Exercícios relacionados
Calcule
sendo dados
e
o retângulo
.
Inverta a ordem de integração
.
Determine duas soluções l.i. pelo método de séries de potências:
.
Determine duas soluções l.i. pelo método de séries de potências:
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