Calcule o volume do conjunto dado {(x, y, z) em R^3 : x^2 + y^2 <= a^2} e y^2 + z^2 <= a^2, (a > 0).

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para calcular o volume de um conjunto de pontos no espaço tridimensional que satisfaz duas condições: e , onde . Isso está relacionado à geometria no espaço e ao cálculo de volumes de sólidos definidos por equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que essas inequações representam. A inequação descreve um cilindro infinito ao longo do eixo , com raio . Da mesma forma, descreve outro cilindro infinito, mas agora ao longo do eixo , também com raio . Então, estamos lidando com a interseção de dois cilindros perpendiculares.

Passo 3

Quando temos dois cilindros perpendiculares com o mesmo raio, a região comum a ambos forma uma figura conhecida como sólido de Steinmetz. O volume desse sólido pode ser calculado usando uma fórmula específica derivada por integração.

Passo 4

A fórmula para o volume do sólido de Steinmetz, onde os dois cilindros têm raio , é dada por:
Portanto, aplicando essa fórmula diretamente, obtemos o volume desejado.

Resposta

O volume do conjunto é .

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