Inverta a ordem de integração
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente inverter a ordem de integração do seguinte integral duplo:
Isso tá na matéria de Cálculo Integral, especificamente integrais múltiplos. Pra inverter a ordem, precisamos entender bem a região que estamos integrando.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração no plano xy. O x varia de 0 até
. Para cada x, y varia de
até
. Então, nossa região está limitada por:
-
de 0 a -
de a
Passo 3
Para inverter a ordem de integração, queremos expressar
em função de
. Isso significa determinar os limites para
primeiro e, para cada y, encontrar os limites de x.
Vamos achar os limites de
:
- Quando
, temos de até - Quando
, de até
Então, os valores de
vão de 0 até
.
Passo 4
Agora, para cada
, precisamos encontrar os limites de
. Sabemos que:
Vamos resolver essas desigualdades para
:
Então, para cada
entre 0 e
,
vai de
até
.
Passo 5
Com isso, a ordem de integração invertida fica:
Resposta
A ordem de integração invertida é:
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Inverta a ordem de integração
.
Calcule o volume do conjunto dado
.
Calcule
sendo dados
e
o retângulo
.
Calcule o volume do conjunto dado
e
.