Inverta a ordem de integração integral0^pi4[integralSen x^cos x f(x, y) d y] d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente inverter a ordem de integração do seguinte integral duplo:
integral0^pi4 [ integralsin x^cos x f(x, y) , dy ] dx
Isso tá na matéria de Cálculo Integral, especificamente integrais múltiplos. Pra inverter a ordem, precisamos entender bem a região que estamos integrando.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração no plano xy. O x varia de 0 até . Para cada x, y varia de até . Então, nossa região está limitada por:
  • de 0 a
  • de a

Passo 3

Para inverter a ordem de integração, queremos expressar em função de . Isso significa determinar os limites para primeiro e, para cada y, encontrar os limites de x.
Vamos achar os limites de :
  • Quando , temos de até
  • Quando , de até
Então, os valores de vão de 0 até .

Passo 4

Agora, para cada sin x <= y <= cos x , precisamos encontrar os limites de . Sabemos que:
Vamos resolver essas desigualdades para :
Então, para cada entre 0 e , vai de até .

Passo 5

Com isso, a ordem de integração invertida fica:
integral0^raiz22 [ integralarcsin y^arccos y f(x, y) , dx ] dy

Resposta

A ordem de integração invertida é:
integral0^raiz22 [ integralarcsin y^arccos y f(x, y) , dx ] dy

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