Determine duas soluções l.i. pelo método de séries de potências:
.
Passo 1
Então, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial que precisa a gente achar duas soluções linearmente independentes usando o método de séries de potências. Esse tipo de equação aparece na matéria de Equações Diferenciais, e para resolver, vamos precisar entender como funciona o método de séries de potências e como aplicá-lo em equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial dada:
Nosso objetivo é encontrar duas soluções
Passo 3
O método de séries de potências envolve supor que a solução
pode ser expressa como uma série infinita:
Onde
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
:
Passo 5
Agora, substituímos
,
e
na equação diferencial:
Passo 6
Vamos multiplicar os termos:
Passo 7
Simplificamos os expoentes:
Passo 8
Vamos reindexar as somas para que todas tenham o mesmo expoente
:
- Para
, fazemos , então :
- Para
- Para
, fazemos , então :
- As outras somas já estão em termos de
Passo 9
Reescrevemos toda a equação com
:
Passo 10
Para combinar os termos, ajustamos os índices das somas. Observe que
. Então, a equação fica:
Passo 11
Para que a equação seja igual a zero para todo
, cada coeficiente de
deve ser igual a zero. Isso nos dá:
Para e
:
Para
-
:
-
Para
:
Passo 12
Simplificamos as relações de recorrência:
Para :
Para
Agora, precisamos resolver essas equações para encontrar os coeficientes
Passo 13
Para encontrar duas soluções independentes, assumimos duas escolhas diferentes para os valores iniciais
e
:
- Escolha
e para encontrar a primeira solução . - Escolha
e para encontrar a segunda solução .
Passo 14
Após resolver a recorrência para cada caso, obtemos duas séries de potências distintas que são soluções da equação diferencial.
Resposta
Duas soluções linearmente independentes da equação dada são as séries de potências
e
obtidas pelo método descrito acima.
Exercícios relacionados
Calcule o volume do conjunto dado
e
.
Calcule
sendo dados
e
o retângulo
.
Determine duas soluções l.i. pelo método de séries de potências:
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Determine duas soluções l.i. pelo método de séries de potências:
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