Determine duas soluções l.i. pelo método de séries de potências:
(1 + 2 x^2) y'' + y' + (1 + x^2) y = 0.

Passo 1

Então, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial que precisa a gente achar duas soluções linearmente independentes usando o método de séries de potências. Esse tipo de equação aparece na matéria de Equações Diferenciais, e para resolver, vamos precisar entender como funciona o método de séries de potências e como aplicá-lo em equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial dada:

Nosso objetivo é encontrar duas soluções e que sejam linearmente independentes.

Passo 3

O método de séries de potências envolve supor que a solução pode ser expressa como uma série infinita:

Onde são os coeficientes que precisamos determinar.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de :

Passo 5

Agora, substituímos , e na equação diferencial:

Passo 6

Vamos multiplicar os termos:

Passo 7

Simplificamos os expoentes:

Passo 8

Vamos reindexar as somas para que todas tenham o mesmo expoente :
  • Para , fazemos , então :

- Para , já está com , usamos :
  • Para , fazemos , então :

- As outras somas já estão em termos de .

Passo 9

Reescrevemos toda a equação com :

Passo 10

Para combinar os termos, ajustamos os índices das somas. Observe que . Então, a equação fica:

Passo 11

Para que a equação seja igual a zero para todo , cada coeficiente de deve ser igual a zero. Isso nos dá:
Para e :
  • :

- :
Para :

Passo 12

Simplificamos as relações de recorrência:
Para :

Agora, precisamos resolver essas equações para encontrar os coeficientes .

Passo 13

Para encontrar duas soluções independentes, assumimos duas escolhas diferentes para os valores iniciais e :
  1. Escolha e para encontrar a primeira solução .
  2. Escolha e para encontrar a segunda solução .

Passo 14

Após resolver a recorrência para cada caso, obtemos duas séries de potências distintas que são soluções da equação diferencial.

Resposta

Duas soluções linearmente independentes da equação dada são as séries de potências e obtidas pelo método descrito acima.

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Determine duas soluções l.i. pelo método de séries de potências:
y'' + y' - x y = 0.
Determine duas soluções l.i. pelo método de séries de potências:
y'' - x*y' + x^2*y = 0.