Calcule
, sendo
e
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício pede. A gente precisa calcular uma integral dupla, simbolizada por
. A função que vamos integrar é
, e a região de integração
é definida por:
Então, vamos usar conceitos de cálculo de integrais duplas para resolver isso. Precisamos entender bem os limites de integração e a ordem de integração mais conveniente para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
para entender melhor os limites de integração. A região é definida por duas condições:
-
: Isso significa que estamos considerando apenas valores de a partir de 2 até o infinito. -
: Para cada , varia de até .
Como
está limitado superiormente por
, o valor de
não pode ser tão grande a ponto de
exceder
. Então, vamos encontrar o valor máximo de
que satisfaz
:
Portanto, os limites de
vão de 2 até
.
Passo 3
Agora que temos os limites de
e
, vamos montar a integral dupla. A ordem de integração escolhida será primeiro em relação a
e depois em relação a
, pois parece mais simples nesse caso.
Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna, que é em relação a
:
Como
é tratado como uma constante em relação a
, podemos tirar
da integral:
Sabemos que a integral de
em relação a
é
, então:
Como
, o resultado simplifica para:
Passo 5
Agora, precisamos integrar esse resultado em relação a
, de 2 até
:
Vamos tirar o sinal negativo para simplificar:
Fazendo uma substituição para simplificar a integral:
Seja , então
, ou seja,
.
Seja
Substituindo na integral:
A integral de
é
, então:
Sabendo que
, temos:
Resposta
Portanto, o valor da integral dupla é:
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Calcule o Laplaciano de cada função:
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Seja a transformação
, onde
e
. Desenhe: O conjunto
onde
.
Seja a transformação
. Desenhe o conjunto
onde
.