Calcule integral duplaB f(x, y) d x d y, sendo f(x, y)=x cos y e B=(x, y) in R^2 ; x >= 2, x^2 <= y <= pi.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício pede. A gente precisa calcular uma integral dupla, simbolizada por integral duplaB f(x, y) , dx , dy. A função que vamos integrar é f(x, y) = x cos y, e a região de integração B é definida por:
B = (x, y) in R^2 ; x >= 2, x^2 <= y <= pi
Então, vamos usar conceitos de cálculo de integrais duplas para resolver isso. Precisamos entender bem os limites de integração e a ordem de integração mais conveniente para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região B para entender melhor os limites de integração. A região é definida por duas condições:
  1. x >= 2: Isso significa que estamos considerando apenas valores de x a partir de 2 até o infinito.
  2. x^2 <= y <= pi: Para cada x, y varia de x^2 até pi.
Como y está limitado superiormente por pi, o valor de x não pode ser tão grande a ponto de x^2 exceder pi. Então, vamos encontrar o valor máximo de x que satisfaz x^2 <= pi:
x^2 <= pi Rightarrow x <= raizpi
Portanto, os limites de x vão de 2 até raizpi.

Passo 3

Agora que temos os limites de x e y, vamos montar a integral dupla. A ordem de integração escolhida será primeiro em relação a y e depois em relação a x, pois parece mais simples nesse caso.
Então, a integral fica:
integral duplaB f(x, y) , dx , dy = integralx=2^raizpi integraly=x^2^pi x cos y , dy , dx

Passo 4

Vamos resolver a integral interna, que é em relação a y:
integraly=x^2^pi x cos y , dy
Como x é tratado como uma constante em relação a y, podemos tirar x da integral:
x integraly=x^2^pi cos y , dy
Sabemos que a integral de cos y em relação a y é sin y, então:
x [ sin y ]y=x^2^pi = x ( sin pi - sin x^2 )
Como sin pi = 0, o resultado simplifica para:
- x sin x^2

Passo 5

Agora, precisamos integrar esse resultado em relação a x, de 2 até raizpi:
integralx=2^raizpi -x sin x^2 , dx
Vamos tirar o sinal negativo para simplificar:
- integral2^raizpi x sin x^2 , dx
Fazendo uma substituição para simplificar a integral:
Seja u = x^2, então du = 2x , dx, ou seja, x , dx = du2.
Substituindo na integral:
- integralu=4^pi sin u2 , du = -12 integral4^pi sin u , du
A integral de sin u é - cos u, então:
- 12 [ -cos u ]4^pi = - 12 ( -cos pi + cos 4 ) = 12 (cos pi - cos 4)
Sabendo que cos pi = -1, temos:
12 (-1 - cos 4) = -12 (1 + cos 4)

Resposta

Portanto, o valor da integral dupla é:
integral duplaB f(x, y) , dx , dy = -12 (1 + cos 4)

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