Calcule , sendo e .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício pede. A gente precisa calcular uma integral dupla, simbolizada por . A função que vamos integrar é , e a região de integração é definida por:
Então, vamos usar conceitos de cálculo de integrais duplas para resolver isso. Precisamos entender bem os limites de integração e a ordem de integração mais conveniente para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região para entender melhor os limites de integração. A região é definida por duas condições:
  1. : Isso significa que estamos considerando apenas valores de a partir de 2 até o infinito.
  2. : Para cada , varia de até .
Como está limitado superiormente por , o valor de não pode ser tão grande a ponto de exceder . Então, vamos encontrar o valor máximo de que satisfaz :
Portanto, os limites de vão de 2 até .

Passo 3

Agora que temos os limites de e , vamos montar a integral dupla. A ordem de integração escolhida será primeiro em relação a e depois em relação a , pois parece mais simples nesse caso.
Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna, que é em relação a :
Como é tratado como uma constante em relação a , podemos tirar da integral:
Sabemos que a integral de em relação a é , então:
Como , o resultado simplifica para:

Passo 5

Agora, precisamos integrar esse resultado em relação a , de 2 até :
Vamos tirar o sinal negativo para simplificar:
Fazendo uma substituição para simplificar a integral:
Seja , então , ou seja, .
Substituindo na integral:
A integral de é , então:
Sabendo que , temos:

Resposta

Portanto, o valor da integral dupla é:

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