Calcule o Laplaciano de cada função:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o Laplaciano da função
. O Laplaciano é um conceito da matemática que vem do cálculo multivariável, e ele nos ajuda a entender como uma função muda em várias direções ao mesmo tempo. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas segundas da função em relação a cada variável.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Laplaciano. Em duas dimensões, o Laplaciano de uma função
é dado por:
Isso significa que a gente precisa encontrar a segunda derivada de
em relação a
e a segunda derivada em relação a
, e depois somar essas duas derivadas.
Passo 3
Vamos começar calculando a primeira e a segunda derivada de
em relação a
.
Primeira derivada em relação a
:
Agora, a segunda derivada em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a primeira e a segunda derivada de
em relação a
.
Primeira derivada em relação a
:
Segundo, a segunda derivada em relação a
:
Passo 5
Agora que temos as segundas derivadas, vamos somá-las para encontrar o Laplaciano:
Resposta
O Laplaciano da função
é
.
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Calcule
, sendo
e
.
Seja a transformação
, onde
e
. Desenhe: O conjunto
onde
.