Calcule o Laplaciano de cada função: f(x, y) = x * y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o Laplaciano da função . O Laplaciano é um conceito da matemática que vem do cálculo multivariável, e ele nos ajuda a entender como uma função muda em várias direções ao mesmo tempo. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas segundas da função em relação a cada variável.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Laplaciano. Em duas dimensões, o Laplaciano de uma função f(x, y) é dado por:
Isso significa que a gente precisa encontrar a segunda derivada de f em relação a x e a segunda derivada em relação a y, e depois somar essas duas derivadas.

Passo 3

Vamos começar calculando a primeira e a segunda derivada de em relação a x.
Primeira derivada em relação a x:
Agora, a segunda derivada em relação a x:

Passo 4

Agora, vamos calcular a primeira e a segunda derivada de em relação a y.
Primeira derivada em relação a y:
Segundo, a segunda derivada em relação a y:

Passo 5

Agora que temos as segundas derivadas, vamos somá-las para encontrar o Laplaciano:

Resposta

O Laplaciano da função é .

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