Calcule
onde
é o cíŕculo
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla
, onde a região
é definida pelo círculo
.
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com integrais duplas sobre uma região circular no plano. Para resolver isso, vamos precisar entender como descrever a região
de forma mais fácil e escolher a melhor forma de integrar, que pode ser em coordenadas cartesianas ou polares.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação do círculo
para uma forma mais padrão. Podemos completar o quadrado para
:
Isso mostra que a região
é um círculo com centro em
e raio
.
Passo 3
Agora, para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares. Mas primeiro, precisamos ajustar o sistema de coordenadas para que o centro do círculo esteja na origem. Vamos fazer uma mudança de variável:
Assim, a região
fica:
Agora, podemos usar coordenadas polares
onde:
E o limite para
será de
a
, e para
de
a
.
Passo 4
Vamos expressar a função que queremos integrar, que é
, em termos de
e
:
Então, a integral fica:
Em coordenadas polares:
Aqui,
é o fator de escala que vem da mudança para coordenadas polares.
Passo 5
Vamos calcular a integral. Primeiro, separamos a integral em duas partes:
Primeira parte:
A integral de
de
a
é zero. Então, a primeira parte é zero.
Segunda parte:
Resposta
O valor da integral dupla é
.
Exercícios relacionados
Calcule os limites de quocientes indeterminados.
(a)
(a)
Se
, encontre
. É possível obter
sem mais informações?
Encontre os limites indicados. Caso o limite não exista, explique o porquê.
©
©
Calcule as seguintes integrais: