Calcule onde é o cíŕculo .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla , onde a região é definida pelo círculo .
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com integrais duplas sobre uma região circular no plano. Para resolver isso, vamos precisar entender como descrever a região de forma mais fácil e escolher a melhor forma de integrar, que pode ser em coordenadas cartesianas ou polares.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação do círculo para uma forma mais padrão. Podemos completar o quadrado para :
Isso mostra que a região é um círculo com centro em e raio .

Passo 3

Agora, para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares. Mas primeiro, precisamos ajustar o sistema de coordenadas para que o centro do círculo esteja na origem. Vamos fazer uma mudança de variável:
Assim, a região fica:
Agora, podemos usar coordenadas polares onde:
E o limite para será de a , e para de a .

Passo 4

Vamos expressar a função que queremos integrar, que é , em termos de e :
Então, a integral fica:
Em coordenadas polares:
Aqui, é o fator de escala que vem da mudança para coordenadas polares.

Passo 5

Vamos calcular a integral. Primeiro, separamos a integral em duas partes:
Primeira parte:
A integral de de a é zero. Então, a primeira parte é zero.
Segunda parte:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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