Calcule integral duplaB x d x d y onde B é o cíŕculo x^2+y^2-x <= 0.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla integral duplaB x , dx , dy, onde a região B é definida pelo círculo x^2 + y^2 - x <= 0.
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com integrais duplas sobre uma região circular no plano. Para resolver isso, vamos precisar entender como descrever a região B de forma mais fácil e escolher a melhor forma de integrar, que pode ser em coordenadas cartesianas ou polares.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação do círculo x^2 + y^2 - x <= 0 para uma forma mais padrão. Podemos completar o quadrado para x:
x^2 - x + y^2 <= 0 x^2 - x + (12)^2 + y^2 <= (12)^2 (x - 12)^2 + y^2 <= (12)^2
Isso mostra que a região B é um círculo com centro em (12, 0) e raio 12.

Passo 3

Agora, para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares. Mas primeiro, precisamos ajustar o sistema de coordenadas para que o centro do círculo esteja na origem. Vamos fazer uma mudança de variável:
u = x - 12 v = y
Assim, a região B fica:
u^2 + v^2 <= (12)^2
Agora, podemos usar coordenadas polares (r, theta) onde:
u = r cos theta v = r sin theta
E o limite para r será de 0 a 12, e para theta de 0 a 2pi.

Passo 4

Vamos expressar a função que queremos integrar, que é x, em termos de u e v:
x = u + 12
Então, a integral fica:
integral duplaB x , dx , dy = integral duplau^2 + v^2 <= (12)^2 (u + 12) , du , dv
Em coordenadas polares:
integral0^2pi integral0^12 (r cos theta + 12) r , dr , dtheta
Aqui, r é o fator de escala que vem da mudança para coordenadas polares.

Passo 5

Vamos calcular a integral. Primeiro, separamos a integral em duas partes:
integral0^2pi integral0^12 r^2 cos theta , dr , dtheta + integral0^2pi integral0^12 12 r , dr , dtheta
Primeira parte:
integral0^2pi cos theta , dtheta cdot integral0^12 r^2 , dr
A integral de cos theta de 0 a 2pi é zero. Então, a primeira parte é zero.
Segunda parte:
12 integral0^2pi dtheta cdot integral0^12 r , dr = 12 cdot 2pi cdot [ r^22 ]0^12 = 12 cdot 2pi cdot 18 = pi8

Resposta

O valor da integral dupla é pi8.

Exercícios relacionados