Calcule integral duplaB x^2 d x d y onde B é o conjunto 4 x^2+y^2 <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral dupla integral duplaB x^2 , dx , dy, onde a região B é definida por 4x^2 + y^2 <= 1. Isso está relacionado à matéria de Cálculo Integral, mais especificamente às integrais duplas sobre regiões específicas no plano. Para resolver isso, vamos precisar entender como definir os limites de integração para x e y dentro dessa região oval chamada elipse.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região B. A equação 4x^2 + y^2 <= 1 representa uma elipse centrada na origem. Podemos reescrevê-la como x^2(1/2)^2 + y^21^2 <= 1, o que nos mostra que o semi-eixo maior está ao longo do eixo y com comprimento 1, e o semi-eixo menor está ao longo do eixo x com comprimento 1/2.

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos mudar de coordenadas cartesianas para coordenadas elípticas. Fazemos a substituição:
x = u2, y = v
Com essa mudança, a equação da elipse se transforma em:
4(u2)^2 + v^2 = u^2 + v^2 <= 1
Agora, a região B se transforma em o círculo unitário no plano uv. O próximo passo é calcular o determinante jacobiano dessa transformação para ajustar a área diferencial:
partial(x, y)partial(u, v) = 12 & 0 0 & 1 = 12
Então, dx , dy = 12 , du , dv.

Passo 4

Agora, reescrevemos a integral original em termos de u e v:
integral duplaB x^2 , dx , dy = integral duplau^2 + v^2 <= 1 (u2)^2 cdot 12 , du , dv = 18 integral duplau^2 + v^2 <= 1 u^2 , du , dv
Para calcular essa integral, é conveniente usar coordenadas polares no plano uv, onde u = r costheta e v = r sintheta. Assim, a área diferencial se torna r , dr , dtheta.

Passo 5

Substituindo para coordenadas polares:
18 integral0^2pi integral0^1 (r costheta)^2 cdot r , dr , dtheta = 18 integral0^2pi cos^2theta , dtheta integral0^1 r^3 , dr
Calculamos as integrais separadamente:
integral0^1 r^3 , dr = [ r^44 ]0^1 = 14
E:
integral0^2pi cos^2theta , dtheta = pi
(Usamos a identidade trigonométrica cos^2theta = 1 + cos(2theta)2 e integramos sobre um período completo.)

Passo 6

Multiplicando tudo:
18 cdot pi cdot 14 = pi32

Resposta

O valor da integral dupla é dfracpi32.

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