Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral dupla , onde a região é definida por . Isso está relacionado à matéria de Cálculo Integral, mais especificamente às integrais duplas sobre regiões específicas no plano. Para resolver isso, vamos precisar entender como definir os limites de integração para e dentro dessa região oval chamada elipse.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região . A equação representa uma elipse centrada na origem. Podemos reescrevê-la como , o que nos mostra que o semi-eixo maior está ao longo do eixo com comprimento 1, e o semi-eixo menor está ao longo do eixo com comprimento .
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos mudar de coordenadas cartesianas para coordenadas elípticas. Fazemos a substituição:
Com essa mudança, a equação da elipse se transforma em:
Agora, a região se transforma em o círculo unitário no plano . O próximo passo é calcular o determinante jacobiano dessa transformação para ajustar a área diferencial:
Então, dx , dy = 12 , du , dv.
Passo 4
Agora, reescrevemos a integral original em termos de u e v:
integral duplaB x^2 , dx , dy = integral duplau^2 + v^2 <= 1 (u2)^2 cdot 12 , du , dv = 18 integral duplau^2 + v^2 <= 1 u^2 , du , dv
Para calcular essa integral, é conveniente usar coordenadas polares no plano uv, onde u = r costheta e v = r sintheta. Assim, a área diferencial se torna r , dr , dtheta.
Passo 5
Substituindo para coordenadas polares:
18 integral0^2pi integral0^1 (r costheta)^2 cdot r , dr , dtheta = 18 integral0^2pi cos^2theta , dtheta integral0^1 r^3 , dr
Calculamos as integrais separadamente:
integral0^1 r^3 , dr = [ r^44 ]0^1 = 14
E:
integral0^2pi cos^2theta , dtheta = pi
(Usamos a identidade trigonométrica cos^2theta = 1 + cos(2theta)2 e integramos sobre um período completo.)