Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral dupla , onde a região é definida por . Isso está relacionado à matéria de Cálculo Integral, mais especificamente às integrais duplas sobre regiões específicas no plano. Para resolver isso, vamos precisar entender como definir os limites de integração para e dentro dessa região oval chamada elipse.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região . A equação representa uma elipse centrada na origem. Podemos reescrevê-la como , o que nos mostra que o semi-eixo maior está ao longo do eixo com comprimento 1, e o semi-eixo menor está ao longo do eixo com comprimento .
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos mudar de coordenadas cartesianas para coordenadas elípticas. Fazemos a substituição:
Com essa mudança, a equação da elipse se transforma em:
Agora, a região se transforma em o círculo unitário no plano . O próximo passo é calcular o determinante jacobiano dessa transformação para ajustar a área diferencial:
Então, .
Passo 4
Agora, reescrevemos a integral original em termos de e :
Para calcular essa integral, é conveniente usar coordenadas polares no plano , onde e . Assim, a área diferencial se torna .
Passo 5
Substituindo para coordenadas polares:
Calculamos as integrais separadamente:
E:
(Usamos a identidade trigonométrica e integramos sobre um período completo.)