Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Precisamos calcular a integral dupla:
Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que são ótimas para integrar sobre regiões circulares ou que têm simetria radial. Vamos precisar converter as coordenadas cartesianas (x, y) para polares (r, θ) e ajustar os limites de integração de acordo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. O limite para x vai de 0 a 1, e para y de a . Isso descreve uma circunferência com centro no ponto (0,1) e raio 1. Ou seja, é uma circunferência que toca o eixo x em (0,0) e (0,2).
Passo 3
Agora, vamos converter as coordenadas cartesianas para polares. As equações de conversão são:
O elemento de área em coordenadas polares é dado por:
Passo 4
Vamos reescrever a equação da circunferência em coordenadas polares:
Expandindo:
Simplificando:
Como :
Fatorando:
Então, temos duas soluções: e . Isso nos dá os limites para r e θ.
Passo 5
Determinado isso, os limites de integração em coordenadas polares são:
varia de 0 a (para cobrir toda a circunferência de baixo para cima).
varia de 0 a para cada θ.
Agora, vamos reescrever a integral original em coordenadas polares:
Aqui, , e o elemento de área é .
Passo 6
Simplificando a expressão da integral:
Primeiro, vamos integrar em relação a r.
Passo 7
Integrando em relação a r:
Calculando:
Passo 8
Agora, a integral fica:
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja , então .