Calcule
, onde
é o conjunto dado.
c) B é a região compreendida entre os gráficos de
e
, com
.
Dica: Aqui teremos uma integral para
, e que gera a resposta
; já a integral para
gera a resposta 29/15. A resposta final é 2 .
c) B é a região compreendida entre os gráficos de
Dica: Aqui teremos uma integral para
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla
, onde a região
está entre os gráficos de
e
, para
. Isso está relacionado ao cálculo de áreas e integrais múltiplas na matemática. Para resolver, vamos precisar entender como configurar os limites de integração e dividir a integral em partes mais fáceis de calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. Temos duas curvas:
(uma reta) e
(uma parábola). Para encontrar onde elas se encontram, igualamos as duas equações:
Então, as curvas se interceptam em
e
.
Passo 3
Agora, vamos determinar como a região
se comporta entre
e
. De
a
, a reta
está acima da parábola
. Já de
a
, a parábola está acima da reta. Isso significa que precisamos separar a integral em duas partes:
- De
a : vai de até . - De
a : vai de até .
Passo 4
Vamos configurar a integral dupla dividindo em duas integrais simples:
Passo 5
Vamos calcular a primeira integral de
a
:
Integrando em relação a
:
Agora, integramos em relação a
:
Passo 6
Agora, calculamos a segunda integral de
a
:
Integrando em relação a
:
Agora, integramos em relação a
:
Calculando para
:
Calculando para
:
Então, a integral total da segunda parte é:
Resposta
Somando as duas partes, temos:
Portanto, o valor da integral dupla é
.