Calcule , onde é o conjunto dado.
c) B é a região compreendida entre os gráficos de e , com .
Dica: Aqui teremos uma integral para , e que gera a resposta ; já a integral para gera a resposta 29/15. A resposta final é 2 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla , onde a região está entre os gráficos de e , para . Isso está relacionado ao cálculo de áreas e integrais múltiplas na matemática. Para resolver, vamos precisar entender como configurar os limites de integração e dividir a integral em partes mais fáceis de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . Temos duas curvas: (uma reta) e (uma parábola). Para encontrar onde elas se encontram, igualamos as duas equações:
Então, as curvas se interceptam em e .

Passo 3

Agora, vamos determinar como a região se comporta entre e . De a , a reta está acima da parábola . Já de a , a parábola está acima da reta. Isso significa que precisamos separar a integral em duas partes:
  1. De a : vai de até .
  2. De a : vai de até .

Passo 4

Vamos configurar a integral dupla dividindo em duas integrais simples:

Passo 5

Vamos calcular a primeira integral de a :
Integrando em relação a :
Agora, integramos em relação a :

Passo 6

Agora, calculamos a segunda integral de a :
Integrando em relação a :
Agora, integramos em relação a :
Calculando para :
Calculando para :
Então, a integral total da segunda parte é:

Resposta

Somando as duas partes, temos:
Portanto, o valor da integral dupla é .

Exercícios relacionados

Esboçar os gráficos de sólidos limitados pelas superfícies dadas: interior ao paraboloide: e limitado superiormente por .
Determine o domínio de cada uma das funções, dadas pelas leis de correspondência abaixo e trace um esboço mostrando com uma região sombreada em , o conjunto de pontos do domínio de : ;
Inverta a ordem de integração.
b)

Exercício 23: Calcule.

a) onde é o círculo Resp.: