Calcule integral duplaB y d x d y, onde B é o conjunto dado.
c) B é a região compreendida entre os gráficos de y=x e y=x^2, com 0 <= x <= 2.
Dica: Aqui teremos uma integral para x in[0,1], e que gera a resposta 1 / 15; já a integral para x in[1,2] gera a resposta 29/15. A resposta final é 2 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla integral duplaB y , dx , dy, onde a região B está entre os gráficos de y = x e y = x^2, para 0 <= x <= 2. Isso está relacionado ao cálculo de áreas e integrais múltiplas na matemática. Para resolver, vamos precisar entender como configurar os limites de integração e dividir a integral em partes mais fáceis de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região B. Temos duas curvas: y = x (uma reta) e y = x^2 (uma parábola). Para encontrar onde elas se encontram, igualamos as duas equações:
x = x^2 x^2 - x = 0 x(x - 1) = 0 x = 0 ou x = 1
Então, as curvas se interceptam em x = 0 e x = 1.

Passo 3

Agora, vamos determinar como a região B se comporta entre x = 0 e x = 2. De x = 0 a x = 1, a reta y = x está acima da parábola y = x^2. Já de x = 1 a x = 2, a parábola está acima da reta. Isso significa que precisamos separar a integral em duas partes:
  1. De x = 0 a x = 1: y vai de x^2 até x.
  2. De x = 1 a x = 2: y vai de x até x^2.

Passo 4

Vamos configurar a integral dupla dividindo em duas integrais simples:
integral duplaB y , dx , dy = integral0^1 integralx^2^x y , dy , dx + integral1^2 integralx^x^2 y , dy , dx

Passo 5

Vamos calcular a primeira integral de x = 0 a x = 1:
integral0^1 integralx^2^x y , dy , dx
Integrando em relação a y:
integralx^2^x y , dy = [ y^22 ]x^2^x = x^22 - (x^2)^22 = x^22 - x^42
Agora, integramos em relação a x:
integral0^1 ( x^22 - x^42 ) dx = 12 [ x^33 - x^55 ]0^1 = 12 ( 13 - 15 ) = 12 ( 5 - 315 ) = 12 cdot 215 = 115

Passo 6

Agora, calculamos a segunda integral de x = 1 a x = 2:
integral1^2 integralx^x^2 y , dy , dx
Integrando em relação a y:
integralx^x^2 y , dy = [ y^22 ]x^x^2 = (x^2)^22 - x^22 = x^42 - x^22
Agora, integramos em relação a x:
integral1^2 ( x^42 - x^22 ) dx = 12 [ x^55 - x^33 ]1^2
Calculando para x = 2:
12 ( 325 - 83 ) = 12 ( 96 - 4015 ) = 12 cdot 5615 = 2815
Calculando para x = 1:
12 ( 15 - 13 ) = 12 ( 3 - 515 ) = 12 cdot -215 = -115
Então, a integral total da segunda parte é:
2815 - (-115) = 2915

Resposta

Somando as duas partes, temos:
115 + 2915 = 3015 = 2
Portanto, o valor da integral dupla é 2.

Exercícios relacionados