Exercício 23: Calcule.

a) integral duplaB x^2+2 y d x d y onde B é o círculo x^2+y^2 <= 4 ; Resp.: 4 pi

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para calcular a integral dupla de sobre a região , que é o círculo definido por . Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo integral e coordenadas polares, que vão facilitar nossa resolução.

Passo 2

Como a região de integração x = r cos theta e y = r sin theta é um círculo, é mais conveniente converter a integral para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos que:
dA = r , dr , dtheta
Além disso, o elemento de área em coordenadas polares é dado por:
Essas substituições vão simplificar os cálculos da integral.

Passo 3

Vamos reescrever a função x^2 = r^2 cos^2 theta em termos de 2y = 2r sin theta e x^2 + 2y = r^2 cos^2 theta + 2r sin theta :
Portanto, a função fica:

Passo 4

Substituindo na integral dupla, temos:
integral duplaB (x^2 + 2y) , dx , dy = integral0^2pi integral0^2 ( r^2 cos^2 theta + 2r sin theta ) r , dr , dtheta
Aqui, os limites de integração para vão de 0 a 2 (já que o raio do círculo é 2) e para de 0 a para percorrer todo o círculo.

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
= integral0^2pi integral0^2 ( r^3 cos^2 theta + 2r^2 sin theta ) dr , dtheta
Agora, vamos integrar em relação a .

Passo 6

Integrando cada termo com respeito a integral0^2 r^3 cos^2 theta , dr = cos^2 theta cdot r^44 |0^2 = cos^2 theta cdot 164 = 4 cos^2 theta :
integral0^2 2r^2 sin theta , dr = 2 sin theta cdot r^33 |0^2 = 2 sin theta cdot 83 = 163 sin theta
integral0^2pi ( 4 cos^2 theta + 163 sin theta ) dtheta
Substituindo esses resultados na integral, temos:

Passo 7

Agora, vamos integrar com respeito a integral0^2pi 4 cos^2 theta , dtheta + integral0^2pi 163 sin theta , dtheta :
integral0^2pi cos^2 theta , dtheta = pi
Sabemos que:
integral0^2pi sin theta , dtheta = 0
4 cdot pi + 163 cdot 0 = 4pi
Portanto:

Resposta

Portanto, o valor da integral é .

Exercícios relacionados