Exercício 23: Calcule.

a) onde é o círculo Resp.:

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para calcular a integral dupla de sobre a região , que é o círculo definido por . Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo integral e coordenadas polares, que vão facilitar nossa resolução.

Passo 2

Como a região de integração é um círculo, é mais conveniente converter a integral para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos que:
Além disso, o elemento de área em coordenadas polares é dado por:
Essas substituições vão simplificar os cálculos da integral.

Passo 3

Vamos reescrever a função em termos de e :
Portanto, a função fica:

Passo 4

Substituindo na integral dupla, temos:
Aqui, os limites de integração para vão de 0 a 2 (já que o raio do círculo é 2) e para de 0 a para percorrer todo o círculo.

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Agora, vamos integrar em relação a .

Passo 6

Integrando cada termo com respeito a :
Substituindo esses resultados na integral, temos:

Passo 7

Agora, vamos integrar com respeito a :
Sabemos que:
Portanto:

Resposta

Portanto, o valor da integral é .

Exercícios relacionados

Inverta a ordem de integração.
b)
Calcule , onde é o conjunto dado.
c) B é a região compreendida entre os gráficos de e , com .
Dica: Aqui teremos uma integral para , e que gera a resposta ; já a integral para gera a resposta 29/15. A resposta final é 2 .

Exercício 23: Calcule.

b) onde ;
Calcule , onde é o conjunto dado.
a) é o triângulo de vértices e .
Dica: Faça a inversão de integração e constate que o valor obtido é o mesmo para as duas integrações, valor este de ;