Esboçar os gráficos de sólidos limitados pelas superfícies dadas: interior ao paraboloide: 2z = x^2 + y^2 e limitado superiormente por x^2 + y^2 + z^2 = 3.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de geometria espacial onde precisamos desenhar o sólido limitado por duas superfícies. As superfícies são um paraboloide dado por e uma esfera dada por . Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a interseção dessas duas superfícies e determinar os limites do sólido.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a interseção entre o paraboloide e a esfera. Isso nos ajudará a entender até onde cada superfície se estende dentro do sólido.

Passo 3

Substituímos a expressão de do paraboloide na equação da esfera. A partir do paraboloide, temos .

Passo 4

Substituindo na equação da esfera:
Simplificando,

Passo 5

Vamos definir para simplificar a equação:
Multiplicando ambos os lados por 4 para eliminar o denominador:
Rearranjando:

Passo 6

Resolvemos a equação quadrática em termos de :
As soluções são e . Como não pode ser negativo, temos .

Passo 7

Isso significa que a interseção ocorre quando . Substituindo de volta no paraboloide:
Portanto, a interseção ocorre no círculo de raio a altura .

Passo 8

Agora, sabemos que o sólido é a parte do paraboloide que está abaixo da esfera , limitado pela interseção no círculo e .

Resposta

O sólido é a região situada dentro do paraboloide e abaixo da esfera , limitada no ponto de interseção pelo círculo a uma altura de .

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