Esboçar os gráficos de sólidos limitados pelas superfícies dadas: interior ao paraboloide:
e limitado superiormente por
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de geometria espacial onde precisamos desenhar o sólido limitado por duas superfícies. As superfícies são um paraboloide dado por
e uma esfera dada por
. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a interseção dessas duas superfícies e determinar os limites do sólido.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a interseção entre o paraboloide e a esfera. Isso nos ajudará a entender até onde cada superfície se estende dentro do sólido.
Passo 3
Substituímos a expressão de
do paraboloide na equação da esfera. A partir do paraboloide, temos
.
Passo 4
Substituindo
na equação da esfera:
Simplificando,
Passo 5
Vamos definir
para simplificar a equação:
Multiplicando ambos os lados por 4 para eliminar o denominador:
Rearranjando:
Passo 6
Resolvemos a equação quadrática em termos de
:
As soluções são
e
. Como
não pode ser negativo, temos
.
Passo 7
Isso significa que a interseção ocorre quando
. Substituindo de volta no paraboloide:
Portanto, a interseção ocorre no círculo de raio
a altura
.
Passo 8
Agora, sabemos que o sólido é a parte do paraboloide
que está abaixo da esfera
, limitado pela interseção no círculo
e
.
Resposta
O sólido é a região situada dentro do paraboloide
e abaixo da esfera
, limitada no ponto de interseção pelo círculo
a uma altura de
.
Exercícios relacionados
Determine o domínio de cada uma das funções, dadas pelas leis de correspondência abaixo e trace um esboço mostrando com uma região sombreada em
, o conjunto de pontos do domínio de
:
;
Faça um esboço do sólido, no 1o octante, limitado inferiormente pelo paraboloide
e superiormente pela esfera
.
Calcule
, onde
é o conjunto dado.
c) B é a região compreendida entre os gráficos de e
, com
.
Dica: Aqui teremos uma integral para , e que gera a resposta
; já a integral para
gera a resposta 29/15. A resposta final é 2 .
c) B é a região compreendida entre os gráficos de
Dica: Aqui teremos uma integral para
Inverta a ordem de integração.
b)
b)