Esboçar os gráficos de sólidos limitados pelas superfícies dadas: interior ao paraboloide:
e limitado superiormente por
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de geometria espacial onde precisamos desenhar o sólido limitado por duas superfícies. As superfícies são um paraboloide dado por
e uma esfera dada por
. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a interseção dessas duas superfícies e determinar os limites do sólido.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a interseção entre o paraboloide e a esfera. Isso nos ajudará a entender até onde cada superfície se estende dentro do sólido.
Passo 3
Substituímos a expressão de
do paraboloide na equação da esfera. A partir do paraboloide, temos
.
Passo 4
Substituindo
na equação da esfera:
Simplificando,
Passo 5
Vamos definir
para simplificar a equação:
Multiplicando ambos os lados por 4 para eliminar o denominador:
Rearranjando:
Passo 6
Resolvemos a equação quadrática em termos de
:
As soluções são
e
. Como
não pode ser negativo, temos
.
Passo 7
Isso significa que a interseção ocorre quando
. Substituindo de volta no paraboloide:
Portanto, a interseção ocorre no círculo de raio
a altura
.
Passo 8
Agora, sabemos que o sólido é a parte do paraboloide
que está abaixo da esfera
, limitado pela interseção no círculo
e
.
Resposta
O sólido é a região situada dentro do paraboloide
e abaixo da esfera
, limitada no ponto de interseção pelo círculo
a uma altura de
.