Esboçar os gráficos de sólidos limitados pelas superfícies dadas: interior ao paraboloide: e limitado superiormente por .

Passo 1

Vamos resolver um exercício de geometria espacial onde precisamos desenhar o sólido limitado por duas superfícies. As superfícies são um paraboloide dado por e uma esfera dada por . Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a interseção dessas duas superfícies e determinar os limites do sólido.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a interseção entre o paraboloide e a esfera. Isso nos ajudará a entender até onde cada superfície se estende dentro do sólido.

Passo 3

Substituímos a expressão de do paraboloide na equação da esfera. A partir do paraboloide, temos .

Passo 4

Substituindo na equação da esfera:
Simplificando,

Passo 5

Vamos definir para simplificar a equação:
Multiplicando ambos os lados por 4 para eliminar o denominador:
Rearranjando:

Passo 6

Resolvemos a equação quadrática em termos de :
As soluções são e . Como não pode ser negativo, temos .

Passo 7

Isso significa que a interseção ocorre quando . Substituindo de volta no paraboloide:
Portanto, a interseção ocorre no círculo de raio a altura .

Passo 8

Agora, sabemos que o sólido é a parte do paraboloide que está abaixo da esfera , limitado pela interseção no círculo e .

Resposta

O sólido é a região situada dentro do paraboloide e abaixo da esfera , limitada no ponto de interseção pelo círculo a uma altura de .

Exercícios relacionados

Determine o domínio de cada uma das funções, dadas pelas leis de correspondência abaixo e trace um esboço mostrando com uma região sombreada em , o conjunto de pontos do domínio de : ;
Faça um esboço do sólido, no 1o octante, limitado inferiormente pelo paraboloide e superiormente pela esfera .
Calcule , onde é o conjunto dado.
c) B é a região compreendida entre os gráficos de e , com .
Dica: Aqui teremos uma integral para , e que gera a resposta ; já a integral para gera a resposta 29/15. A resposta final é 2 .
Inverta a ordem de integração.
b)