Calcule , onde é o semicírculo .

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral dupla , onde a região é o semicírculo definido por e . Vamos usar coordenadas polares porque a região é circular, o que facilita bastante a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas polares. Em coordenadas polares, qualquer ponto no plano pode ser representado por , onde é a distância do ponto até a origem e é o ângulo que o raio faz com o eixo positivo do . As relações são:
Além disso, o elemento de área em coordenadas polares vira .

Passo 3

Agora, vamos reescrever nossa integral em coordenadas polares. Substituindo por e por , temos:
Aqui, vai de a porque o raio máximo do semicírculo é , e vai de a para cobrir a parte superior do círculo onde .

Passo 4

Vamos começar integrando em relação a . A integral interna é:
Como é constante em relação a , podemos tirar ela da integral:
A integral de em relação a é , então:

Passo 5

Agora, substituímos o resultado na integral externa:
A integral de em relação a é , então:
Sabemos que e , portanto:

Resposta

O valor da integral é .

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