Calcule
, onde
é o semicírculo
.
Passo 1
Então, a gente tem que calcular a integral dupla
, onde a região
é o semicírculo definido por
e
. Vamos usar coordenadas polares porque a região é circular, o que facilita bastante a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas polares. Em coordenadas polares, qualquer ponto no plano pode ser representado por
, onde
é a distância do ponto até a origem e
é o ângulo que o raio faz com o eixo positivo do
. As relações são:
Além disso, o elemento de área
em coordenadas polares vira
.
Passo 3
Agora, vamos reescrever nossa integral em coordenadas polares. Substituindo
por
e
por
, temos:
Aqui,
vai de
a
porque o raio máximo do semicírculo é
, e
vai de
a
para cobrir a parte superior do círculo onde
.
Passo 4
Vamos começar integrando em relação a
. A integral interna é:
Como
é constante em relação a
, podemos tirar ela da integral:
A integral de
em relação a
é
, então:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado na integral externa:
A integral de
em relação a
é
, então:
Sabemos que
e
, portanto:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
é o paralelogramo de vértices
e
.
Calcule o volume do conjunto dado
.
Calcule
sendo dados
e
o retângulo
.
Calcule
sendo dados
e
.