Calcule integral duplaB y d x d y, onde B é o semicírculo x^2+y^2 <= 4, y >= 0.

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral dupla integral duplaB y , dx , dy, onde a região B é o semicírculo definido por x^2+y^2 <= 4 e y >= 0. Vamos usar coordenadas polares porque a região é circular, o que facilita bastante a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas polares. Em coordenadas polares, qualquer ponto no plano pode ser representado por (r, theta), onde r é a distância do ponto até a origem e theta é o ângulo que o raio faz com o eixo positivo do x. As relações são:
x = r cos theta e y = r sin theta
Além disso, o elemento de área dx , dy em coordenadas polares vira r , dr , dtheta.

Passo 3

Agora, vamos reescrever nossa integral em coordenadas polares. Substituindo y por r sin theta e dx , dy por r , dr , dtheta, temos:
integral duplaB y , dx , dy = integral0^pi integral0^2 (r sin theta) cdot r , dr , dtheta = integral0^pi integral0^2 r^2 sin theta , dr , dtheta
Aqui, r vai de 0 a 2 porque o raio máximo do semicírculo é raiz4 = 2, e theta vai de 0 a pi para cobrir a parte superior do círculo onde y >= 0.

Passo 4

Vamos começar integrando em relação a r. A integral interna é:
integral0^2 r^2 sin theta , dr
Como sin theta é constante em relação a r, podemos tirar ela da integral:
sin theta integral0^2 r^2 , dr
A integral de r^2 em relação a r é r^33, então:
sin theta [ r^33 ]0^2 = sin theta ( 83 - 0 ) = 83 sin theta

Passo 5

Agora, substituímos o resultado na integral externa:
integral0^pi 83 sin theta , dtheta = 83 integral0^pi sin theta , dtheta
A integral de sin theta em relação a theta é - cos theta, então:
83 [ -cos theta ]0^pi = 83 ( -cos pi + cos 0 )
Sabemos que cos pi = -1 e cos 0 = 1, portanto:
83 ( -(-1) + 1 ) = 83 (1 + 1) = 83 times 2 = 163

Resposta

O valor da integral é 163.

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