Calcule , onde é o paralelogramo de vértices e .

Passo 1

Beleza, temos que calcular a integral dupla , onde é um paralelogramo com vértices em , , e . Isso envolve entender como integrar uma função sobre uma região específica no plano xy, usando conceitos de cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . Os vértices dados formam um paralelogramo. Para facilitar a integração, precisamos determinar os limites de e que descrevem essa região.

Passo 3

Vamos identificar as equações das linhas que formam os lados do paralelogramo:
  • A linha que vai de a tem a equação .
  • A linha que vai de a tem a equação .
  • O valor de varia de a dentro do paralelogramo.

Passo 4

Com isso, para cada valor de entre e , o valor de varia de (limite esquerdo) até (limite direito). Então, podemos escrever os limites de integração da seguinte forma:

Passo 5

Agora, configuramos a integral dupla com esses limites:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a :

Passo 7

Agora, integramos o resultado em relação a :

Resposta

A integral dupla vale .

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