Calcule
, onde
é o paralelogramo de vértices
e
.
Passo 1
Beleza, temos que calcular a integral dupla
, onde
é um paralelogramo com vértices em
,
,
e
. Isso envolve entender como integrar uma função sobre uma região específica no plano xy, usando conceitos de cálculo integral.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. Os vértices dados formam um paralelogramo. Para facilitar a integração, precisamos determinar os limites de
e
que descrevem essa região.
Passo 3
Vamos identificar as equações das linhas que formam os lados do paralelogramo:
- A linha que vai de
a tem a equação . - A linha que vai de
a tem a equação . - O valor de
varia de a dentro do paralelogramo.
Passo 4
Com isso, para cada valor de
entre
e
, o valor de
varia de
(limite esquerdo) até
(limite direito). Então, podemos escrever os limites de integração da seguinte forma:
Passo 5
Agora, configuramos a integral dupla com esses limites:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Passo 7
Agora, integramos o resultado em relação a
:
Resposta
A integral dupla vale
.
Exercícios relacionados
Calcule o volume do conjunto dado
.
QUESTÃO Prove por indução que é possível enviar qualquer carta que custe mais que 7 centavos usando selos de 3 e de 5 centavos.
Calcule
, onde
é o semicírculo
.
Calcule
sendo dados
e
o retângulo
.