Calcule integral duplaB y d x d y, onde B é o paralelogramo de vértices (-1,0),(0,0),(1,1) e (0,1).

Passo 1

Beleza, temos que calcular a integral dupla integral duplaB y , dx , dy, onde B é um paralelogramo com vértices em (-1,0), (0,0), (1,1) e (0,1). Isso envolve entender como integrar uma função sobre uma região específica no plano xy, usando conceitos de cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região B. Os vértices dados formam um paralelogramo. Para facilitar a integração, precisamos determinar os limites de x e y que descrevem essa região.

Passo 3

Vamos identificar as equações das linhas que formam os lados do paralelogramo:
  • A linha que vai de (-1,0) a (0,1) tem a equação x = y - 1.
  • A linha que vai de (0,0) a (1,1) tem a equação x = y.
  • O valor de y varia de 0 a 1 dentro do paralelogramo.

Passo 4

Com isso, para cada valor de y entre 0 e 1, o valor de x varia de y - 1 (limite esquerdo) até y (limite direito). Então, podemos escrever os limites de integração da seguinte forma:
0 <= y <= 1 y - 1 <= x <= y

Passo 5

Agora, configuramos a integral dupla com esses limites:
integral duplaB y , dx , dy = integral0^1 ( integraly - 1^y y , dx ) dy

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a x:
integraly - 1^y y , dx = y cdot [ x ]y - 1^y = y(y) - y(y - 1) = y^2 - (y^2 - y) = y

Passo 7

Agora, integramos o resultado em relação a y:
integral0^1 y , dy = [ 12 y^2 ]0^1 = 12(1)^2 - 12(0)^2 = 12

Resposta

A integral dupla vale dfrac12.

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