Calcule o volume do conjunto dado { (x, y, z) pertence a R^3 : 1 <= x <= 2, 0 <= y <= 1, x+y <= z <= x+y+2 }.

Passo 1

Beleza! Vamos calcular o volume do conjunto definido por . Vamos usar noções de cálculo de integrais múltiplas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as restrições dadas no conjunto:
  • : o valor de varia entre 1 e 2.
  • : o valor de varia entre 0 e 1.
  • : o valor de varia entre e .
Isso descreve um paralelopípedo no espaço tridimensional.

Passo 3

Para encontrar o volume desse conjunto, vamos configurar uma integral tripla sobre as variáveis , e :

Passo 4

Vamos primeiro integrar em relação a . A integral de de a é simplesmente a diferença dos limites:

Passo 5

Substituindo esse resultado na integral dupla, temos:

Passo 6

Agora, integremos em relação a . A integral de de a é:

Passo 7

Substituindo de novo na integral, ficamos com:

Passo 8

Finalmente, integramos em relação a . A integral de de a é:

Resposta

O volume do conjunto dado é unidades cúbicas.

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