Calcule o volume do conjunto dado
.
Passo 1
Beleza! Vamos calcular o volume do conjunto definido por
. Vamos usar noções de cálculo de integrais múltiplas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as restrições dadas no conjunto:
-
: o valor de varia entre 1 e 2. -
: o valor de varia entre 0 e 1. -
: o valor de varia entre e .
Isso descreve um paralelopípedo no espaço tridimensional.
Passo 3
Para encontrar o volume desse conjunto, vamos configurar uma integral tripla sobre as variáveis
,
e
:
Passo 4
Vamos primeiro integrar em relação a
. A integral de
de
a
é simplesmente a diferença dos limites:
Passo 5
Substituindo esse resultado na integral dupla, temos:
Passo 6
Agora, integremos em relação a
. A integral de
de
a
é:
Passo 7
Substituindo de novo na integral, ficamos com:
Passo 8
Finalmente, integramos em relação a
. A integral de
de
a
é:
Resposta
O volume do conjunto dado é
unidades cúbicas.