Determine o volume do sólido que é limitado pelo paraboloide elíptico 16, pelos planos e pelos três planos coordenados.
Passo 1
Vamos resumir o problema: queremos encontrar o volume de um sólido que está limitado pelo paraboloide elíptico , pelos planos , e pelos três planos coordenados (ou seja, , e ). Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais triplas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação do paraboloide para expressar em função de e :
Esse é o limite superior para . Os limites inferiores são os planos coordenados, ou seja, . Além disso, os planos e nos dão os limites para e .
Passo 3
Vamos determinar os intervalos de integração para cada variável:
varia de 0 a 2.
varia de 0 a 2.
varia de 0 até .
Passo 4
Com esses limites, podemos configurar a integral tripla para calcular o volume :