Determine o volume do sólido que é limitado pelo paraboloide elíptico 16, pelos planos e pelos três planos coordenados.

Passo 1

Vamos resumir o problema: queremos encontrar o volume de um sólido que está limitado pelo paraboloide elíptico , pelos planos , e pelos três planos coordenados (ou seja, , e ). Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais triplas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação do paraboloide para expressar em função de e :
Esse é o limite superior para . Os limites inferiores são os planos coordenados, ou seja, . Além disso, os planos e nos dão os limites para e .

Passo 3

Vamos determinar os intervalos de integração para cada variável:
  • varia de 0 a 2.
  • varia de 0 a 2.
  • varia de 0 até .

Passo 4

Com esses limites, podemos configurar a integral tripla para calcular o volume :
Primeiro, vamos integrar em relação a .

Passo 5

Integrando em relação a :
Agora, a integral se simplifica para:

Passo 6

Em seguida, integramos em relação a :
Substituindo os limites:
Simplificando:

Passo 7

Agora, integramos em relação a :
Substituindo os limites:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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