Usando coordenadas cilíndricas, determine o volume do sólido
dado por
e
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que determinar o volume de um sólido chamado
usando coordenadas cilíndricas. As condições que definem esse sólido são:
Para resolver isso, vamos precisar conhecer as coordenadas cilíndricas e como transformar as equações dadas para essas coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a desigualdade
. Podemos reescrever essa expressão completando o quadrado:
Isso representa um círculo de raio 1 centrado em
no plano
.
Passo 3
Agora, vamos converter essa condição para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
Substituindo na inequação:
Como
.
Passo 4
Resolvendo a inequação
:
Isso nos dá que
, já que
é sempre positivo.
Passo 5
Agora, vamos determinar os limites de integração:
- O ângulo
varia de a porque e (primeiro quadrante). - O raio
varia de a . - A coordenada
varia de a , que em coordenadas cilíndricas é .
Passo 6
Para calcular o volume, vamos configurar a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
Aqui, o fator
é o jacobiano da mudança para coordenadas cilíndricas.
Passo 7
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em
:
Substituindo na integral:
Passo 8
Integrando em
:
Substituindo na integral:
Passo 9
Expandindo a expressão dentro da integral:
Portanto:
Passo 10
Resolvendo as integrais separadamente:
- Primeira integral:
- Segunda integral:
Fazendo substituição
,
:
Passo 11
Substituindo os resultados na expressão original:
Resposta
O volume do sólido
é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Determine o volume do sólido
que é limitado pelo paraboloide elíptico
16, pelos planos
e pelos três planos coordenados.
Calcule
, onde
é o triângulo de vértices
e
.
Calcule
, onde
é dado por
.
Encontre a transformada de Laplace das funções a seguir: