Usando coordenadas cilíndricas, determine o volume do sólido dado por e .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que determinar o volume de um sólido chamado usando coordenadas cilíndricas. As condições que definem esse sólido são:
Para resolver isso, vamos precisar conhecer as coordenadas cilíndricas e como transformar as equações dadas para essas coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a desigualdade . Podemos reescrever essa expressão completando o quadrado:
Isso representa um círculo de raio 1 centrado em no plano .

Passo 3

Agora, vamos converter essa condição para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
Substituindo na inequação:
Como .

Passo 4

Resolvendo a inequação :
Isso nos dá que , já que é sempre positivo.

Passo 5

Agora, vamos determinar os limites de integração:
  • O ângulo varia de a porque e (primeiro quadrante).
  • O raio varia de a .
  • A coordenada varia de a , que em coordenadas cilíndricas é .

Passo 6

Para calcular o volume, vamos configurar a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
Aqui, o fator é o jacobiano da mudança para coordenadas cilíndricas.

Passo 7

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em :
Substituindo na integral:

Passo 8

Integrando em :
Substituindo na integral:

Passo 9

Expandindo a expressão dentro da integral:
Portanto:

Passo 10

Resolvendo as integrais separadamente:
  1. Primeira integral:
  1. Segunda integral:
Fazendo substituição , :

Passo 11

Substituindo os resultados na expressão original:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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Calcule , onde é dado por .
Encontre a transformada de Laplace das funções a seguir: