Usando coordenadas cilíndricas, determine o volume do sólido B dado por x^2 + y^2 - 2 x <= 0, 0 <= z <= x + y, x >= 0 e y ≥ 0.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que determinar o volume de um sólido chamado B usando coordenadas cilíndricas. As condições que definem esse sólido são:
  • x >= 0
  • y ≥ 0
Para resolver isso, vamos precisar conhecer as coordenadas cilíndricas e como transformar as equações dadas para essas coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a desigualdade . Podemos reescrever essa expressão completando o quadrado:
Isso representa um círculo de raio 1 centrado em no plano xy.

Passo 3

Agora, vamos converter essa condição para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
Substituindo na inequação:
Como .

Passo 4

Resolvendo a inequação :
Isso nos dá que , já que r é sempre positivo.

Passo 5

Agora, vamos determinar os limites de integração:
  • O ângulo theta varia de 0 a pi / 2 porque x >= 0 e y ≥ 0 (primeiro quadrante).
  • O raio r varia de 0 a .
  • A coordenada z varia de 0 a , que em coordenadas cilíndricas é .

Passo 6

Para calcular o volume, vamos configurar a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
Aqui, o fator r é o jacobiano da mudança para coordenadas cilíndricas.

Passo 7

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em z:
Substituindo na integral:

Passo 8

Integrando em r:
Substituindo na integral:

Passo 9

Expandindo a expressão dentro da integral:
Portanto:

Passo 10

Resolvendo as integrais separadamente:
  1. Primeira integral:
  1. Segunda integral:
Fazendo substituição , :

Passo 11

Substituindo os resultados na expressão original:

Resposta

O volume do sólido B é unidades cúbicas.

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