Calcule a integral
onde B é o semicírculo y e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que envolve a função seno e uma região que é um semicírculo. O enunciado pede para calcular:
Aqui, B é o semicírculo definido por e . A matéria que a gente vai usar para resolver isso é Integração em Coordenadas Polares, porque a região é circular e isso facilita bastante. Precisamos saber como converter coordenadas cartesianas para polares e entender as integrais em duas dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região B. Ela é um semicírculo com raio (porque ) e está na parte superior do plano, já que .
Em coordenadas polares, a gente tem:
  • O elemento de área
Então, a integral fica mais simples em coordenadas polares.

Passo 3

Vamos mudar a integral dupla para coordenadas polares. Substituindo as variáveis, temos:
Isso porque e .

Passo 4

Agora, precisamos definir os limites de integração. Como é um semicírculo:
  • varia de 0 até
  • varia de 0 até (já que é a parte superior do círculo)
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Fazendo uma substituição para facilitar, seja . Então, ou .

Passo 6

Substituindo na integral:
Integrando :
Como , temos:

Passo 7

Agora, voltamos à integral externa, que é em relação a :
Essa expressão é constante em relação a , então a integral é simplesmente:

Resposta

A integral vale:

Exercícios relacionados

Calcule a integral
onde E é a região delimitada pelo paraboloide e pelo plano .
Esboce o gráfico e determine as séries de fourier das seguintes funções.
, com
Calcule
onde E é o tetraedro delimitado pelos planos: .
Calcule o volume do sólido delimitado pela superfície (ver figura) pelos planos e .
Figura 1: Superfície