Calcule a integral
onde B é o semicírculo
y
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que envolve a função seno e uma região que é um semicírculo. O enunciado pede para calcular:
Aqui, B é o semicírculo definido por
e
. A matéria que a gente vai usar para resolver isso é Integração em Coordenadas Polares, porque a região é circular e isso facilita bastante. Precisamos saber como converter coordenadas cartesianas para polares e entender as integrais em duas dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região B. Ela é um semicírculo com raio
(porque
) e está na parte superior do plano, já que
.
Em coordenadas polares, a gente tem:
-
-
-
- O elemento de área
Então, a integral fica mais simples em coordenadas polares.
Passo 3
Vamos mudar a integral dupla para coordenadas polares. Substituindo as variáveis, temos:
Isso porque
e
.
Passo 4
Agora, precisamos definir os limites de integração. Como é um semicírculo:
-
varia de 0 até -
varia de 0 até (já que é a parte superior do círculo)
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Fazendo uma substituição para facilitar, seja
. Então,
ou
.
Passo 6
Substituindo na integral:
Integrando
:
Como
, temos:
Passo 7
Agora, voltamos à integral externa, que é em relação a
:
Essa expressão é constante em relação a
, então a integral é simplesmente:
Resposta
A integral vale:
Exercícios relacionados
Calcule a integral
onde E é a região delimitada pelo paraboloide
e pelo plano
.
Esboce o gráfico e determine as séries de fourier das seguintes funções.
, com
Calcule
onde E é o tetraedro delimitado pelos planos:
.
Calcule o volume do sólido delimitado pela superfície (ver figura)
pelos planos
e
.
Figura 1: Superfície