Calcule a integral
integral duplaB sen(x^2+y^2) d A
onde B é o semicírculo x 2+ y 2 <= 52 e y >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que envolve a função seno e uma região que é um semicírculo. O enunciado pede para calcular:
integral duplaB sen(x^2+y^2) d A
Aqui, B é o semicírculo definido por e . A matéria que a gente vai usar para resolver isso é Integração em Coordenadas Polares, porque a região é circular e isso facilita bastante. Precisamos saber como converter coordenadas cartesianas para polares e entender as integrais em duas dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região B. Ela é um semicírculo com raio (porque ) e está na parte superior do plano, já que .
Em coordenadas polares, a gente tem:
  • O elemento de área
Então, a integral fica mais simples em coordenadas polares.

Passo 3

Vamos mudar a integral dupla para coordenadas polares. Substituindo as variáveis, temos:
integral duplaB sen(r^2) cdot r , dr , dtheta
Isso porque e .

Passo 4

Agora, precisamos definir os limites de integração. Como é um semicírculo:
  • integral0^pi integral0^raiz52 sen(r^2) cdot r , dr , dtheta varia de 0 até
  • varia de 0 até (já que é a parte superior do círculo)
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a integral0^raiz52 sen(r^2) cdot r , dr :
Fazendo uma substituição para facilitar, seja . Então, ou .

Passo 6

Substituindo na integral:
12 integral0^52 sen(u) , du
Integrando 12 [ -cos(u) ]0^52 = 12 ( -cos(52) + cos(0) ) :
12 ( 1 - cos(52) )
Como , temos:

Passo 7

Agora, voltamos à integral externa, que é em relação a integral0^pi 12 ( 1 - cos(52) ) , dtheta :
12 ( 1 - cos(52) ) cdot pi
Essa expressão é constante em relação a , então a integral é simplesmente:

Resposta

A integral vale:
pi2 (1 - cos(52))

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