Esboce o gráfico e determine as séries de fourier das seguintes funções.
, com

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função e determinar sua série de Fourier. A matéria que envolve aqui é Análise de Séries de Fourier, que nos ajuda a representar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Para isso, vamos precisar entender o comportamento da função no período e aplicar as fórmulas da série de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a função se comporta no intervalo de um período, que é de 0 a 2. A função é dada por:
E sabemos que , então ela se repete a cada 2 unidades.

Passo 3

Vamos esboçar o gráfico dessa função. No intervalo de 0 a 1, a função é uma reta decrescente começando de até . De 1 a 2, ela é constante em 0. Como a função é periódica com período 2, esse padrão se repete indefinidamente.

Passo 4

Agora, para encontrar a série de Fourier, precisamos identificar se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas. Nesse caso, a função não �� nem par nem ímpar, então vamos usar a série de Fourier completa, que inclui termos de seno e cosseno.

Passo 5

A série de Fourier para uma função periódica de período é dada por:
Primeiro, calculamos o termo , que é a média da função no período:

Passo 6

Calculando :

Passo 7

Agora, calculamos os coeficientes :
Simplificando:

Passo 8

Integrando por partes:
Avaliado de 0 a 1:

Passo 9

Agora, calculamos os coeficientes :
Simplificando:

Passo 10

Integrando por partes:
Avaliado de 0 a 1:

Resposta

Portanto, a série de Fourier da função é:

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