Esboce o gráfico e determine as séries de fourier das seguintes funções.
, com
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função
e determinar sua série de Fourier. A matéria que envolve aqui é Análise de Séries de Fourier, que nos ajuda a representar funções periódicas como somas de senos e cossenos. Para isso, vamos precisar entender o comportamento da função no período e aplicar as fórmulas da série de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a função
se comporta no intervalo de um período, que é de 0 a 2. A função é dada por:
E sabemos que
, então ela se repete a cada 2 unidades.
Passo 3
Vamos esboçar o gráfico dessa função. No intervalo de 0 a 1, a função é uma reta decrescente começando de
até
. De 1 a 2, ela é constante em 0. Como a função é periódica com período 2, esse padrão se repete indefinidamente.
Passo 4
Agora, para encontrar a série de Fourier, precisamos identificar se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas. Nesse caso, a função não �� nem par nem ímpar, então vamos usar a série de Fourier completa, que inclui termos de seno e cosseno.
Passo 5
A série de Fourier para uma função periódica de período
é dada por:
Primeiro, calculamos o termo
, que é a média da função no período:
Passo 6
Calculando
:
Passo 7
Agora, calculamos os coeficientes
:
Simplificando:
Passo 8
Integrando por partes:
Avaliado de 0 a 1:
Passo 9
Agora, calculamos os coeficientes
:
Simplificando:
Passo 10
Integrando por partes:
Avaliado de 0 a 1:
Resposta
Portanto, a série de Fourier da função
é:
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, com
Encontre uma representação em série de potências para a função
e determine o seu intervalo de convergência.
Calcule a integral
onde E é a região delimitada pelo paraboloide
e pelo plano
.
Calcule a integral
onde B é o semicírculo
y
e
.