onde E é a região delimitada pelo paraboloide e pelo plano .
Passo 1
Vamos calcular a integral tripla
onde a região é delimitada pelo paraboloide e o plano . Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar a resolução, já que a expressão sugere simetria circular.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as coordenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
e o elemento de volume transforma-se em:
A função a ser integrada, , fica simplesmente em coordenadas cilíndricas.
Passo 3
Vamos determinar os limites de integração:
O ângulo varia de a para cobrir toda a volta ao redor do eixo .
O raio varia de até o ponto onde o paraboloide atinge o plano . Igualando a , temos .
A coordenada varia de (superfície do paraboloide) até .
Passo 4
Agora, vamos montar a integral em coordenadas cilíndricas: