Calcule a integral
onde E é a região delimitada pelo paraboloide e pelo plano .

Passo 1

Vamos calcular a integral tripla
onde a região é delimitada pelo paraboloide e o plano . Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar a resolução, já que a expressão sugere simetria circular.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as coordenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
e o elemento de volume transforma-se em:
A função a ser integrada, , fica simplesmente em coordenadas cilíndricas.

Passo 3

Vamos determinar os limites de integração:
  • O ângulo varia de a para cobrir toda a volta ao redor do eixo .
  • O raio varia de até o ponto onde o paraboloide atinge o plano . Igualando a , temos .
  • A coordenada varia de (superfície do paraboloide) até .

Passo 4

Agora, vamos montar a integral em coordenadas cilíndricas:
Simplificando, temos:
Calculando a integral em :
Portanto, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral em :
Integrando termo a termo:
Substituindo :
Simplificando:
Calculando a diferença:
Agora, multiplicamos pela integral em :
Portanto, a integral total é:
Simplificando:

Resposta

A integral vale .

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onde E é o tetraedro delimitado pelos planos: .