Calcule a integral
integral triplaE raizx^2+y^2 d V
onde E é a região delimitada pelo paraboloide z=x 2+y 2 e pelo plano z=26.

Passo 1

Vamos calcular a integral tripla
integral triplaE raizx^2+y^2 , dV
onde a região é delimitada pelo paraboloide e o plano . Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar a resolução, já que a expressão sugere simetria circular.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as coordenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
x = r costheta, y = r sintheta, z = z
e o elemento de volume transforma-se em:
dV = r , dz , dr , dtheta
A função a ser integrada, , fica simplesmente em coordenadas cilíndricas.

Passo 3

Vamos determinar os limites de integração:
  • O ângulo varia de a para cobrir toda a volta ao redor do eixo .
  • O raio varia de até o ponto onde o paraboloide atinge o plano . Igualando a , temos .
  • A coordenada varia de (superfície do paraboloide) até .

Passo 4

Agora, vamos montar a integral em coordenadas cilíndricas:
integral triplaE raizx^2+y^2 , dV = integral0^2pi integral0^raiz26 integralr^2^26 r cdot r , dz , dr , dtheta
Simplificando, temos:
= integral0^2pi integral0^raiz26 r^2 ( integralr^2^26 dz ) dr , dtheta
Calculando a integral em integralr^2^26 dz = 26 - r^2 :
= integral0^2pi integral0^raiz26 r^2 (26 - r^2) , dr , dtheta
Portanto, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral em integral0^raiz26 r^2 (26 - r^2) , dr = integral0^raiz26 (26r^2 - r^4) , dr :
= 26 cdot r^33 - r^55 gr|0^raiz26
Integrando termo a termo:
= 26 cdot (26)^3/23 - (26)^5/25
Substituindo = 26 cdot 26 raiz263 - 26^2 raiz265 = 676 raiz263 - 676 raiz265 :
= 676 raiz26 ( 13 - 15 ) = 676 raiz26 cdot 215 = 1352 raiz2615
Simplificando:
integral0^2pi dtheta = 2pi
Calculando a diferença:
2pi cdot 1352 raiz2615 = 2704 pi raiz2615
Agora, multiplicamos pela integral em 270415 pi raiz26 approx 338pi :
Portanto, a integral total é:
Simplificando:

Resposta

A integral vale .

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