Calcule
onde E é o tetraedro delimitado pelos planos: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa resolver aqui é uma integral tripla que calcula a integral de z sobre uma região . Essa região é um tetraedro delimitado pelos planos , , e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender bem os limites de integração. A integral tripla significa que vamos somar os valores de em todos os pontos dentro do tetraedro .

Passo 3

Vamos identificar os limites para cada variável:
  • Para : O menor valor de é 0 (pelo plano ), e o maior valor é dado pela equação do plano . Então, vai de 0 até .
  • Para : Em , a equação do plano fica . Como , então vai de 1 até .
  • Para : Pelo plano , começa em 1. E, quando e , (pois , então ). Portanto, vai de 1 até 27.

Passo 4

Agora que temos os limites, vamos montar a integral tripla:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em primeiro:

Passo 6

Substituindo de volta na integral:

Passo 7

Agora, vamos integrar em :
Primeiro, fazemos uma substituição , então . Quando , ; e quando , .
A integral fica:
Integrando :

Passo 8

Agora, integramos em :
Fazendo a substituição , . Quando , ; e quando , .
A integral fica:
Integrando :

Passo 9

Calculando a fração:
Mas vamos simplificar a fração:

Resposta

A integral tripla vale .

Exercícios relacionados

Calcule a integral
onde B é o semicírculo y e .
Calcule a integral
onde E é a região delimitada pelo paraboloide e pelo plano .
Calcule o volume do sólido delimitado pela superfície (ver figura) pelos planos e .
Figura 1: Superfície
Faça um esboço do gráfico da equação dada.