Calcule
integral triplaE z d V
onde E é o tetraedro delimitado pelos planos: x=1, y=1, z=0 e x+y+z=29.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa resolver aqui é uma integral tripla que calcula a integral de z sobre uma região . Essa região é um tetraedro delimitado pelos planos , , e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender bem os limites de integração. A integral tripla significa que vamos somar os valores de em todos os pontos dentro do tetraedro .

Passo 3

Vamos identificar os limites para cada variável:
  • Para : O menor valor de é 0 (pelo plano ), e o maior valor é dado pela equação do plano . Então, vai de 0 até .
  • Para : Em , a equação do plano fica . Como , então vai de 1 até .
  • Para : Pelo plano , começa em 1. E, quando e , (pois , então ). Portanto, vai de 1 até 27.

Passo 4

Agora que temos os limites, vamos montar a integral tripla:
integral triplaE z , dV = integralx=1^27 integraly=1^29 - x integralz=0^29 - x - y z , dz , dy , dx

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em integral0^29 - x - y z , dz = [ 12z^2 ]0^29 - x - y = 12(29 - x - y)^2 primeiro:

Passo 6

Substituindo de volta na integral:
integral1^27 integral1^29 - x 12(29 - x - y)^2 , dy , dx

Passo 7

Agora, vamos integrar em 12 integral1^27 integral28 - x^0 u^2 (-du) , dx = 12 integral1^27 integral0^28 - x u^2 , du , dx :
Primeiro, fazemos uma substituição 12 integral1^27 [ u^33 ]0^28 - x , dx = 16 integral1^27 (28 - x)^3 , dx , então . Quando , ; e quando , .
A integral fica:
Integrando :

Passo 8

Agora, integramos em 16 integral27^1 v^3 (-dv) = 16 integral1^27 v^3 , dv :
Fazendo a substituição 16 [ v^44 ]1^27 = 124 (27^4 - 1^4) = 124 (531441 - 1) = 53144024 , . Quando , ; e quando , .
A integral fica:
Integrando :

Passo 9

Calculando a fração:
53144024 = 221416
Mas vamos simplificar a fração:
53144024 = 531440 div 824 div 8 = 664303

Resposta

A integral tripla vale .

Exercícios relacionados