Calcule
onde E é o tetraedro delimitado pelos planos:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa resolver aqui é uma integral tripla que calcula a integral de z sobre uma região
. Essa região
é um tetraedro delimitado pelos planos
,
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender bem os limites de integração. A integral tripla
significa que vamos somar os valores de
em todos os pontos dentro do tetraedro
.
Passo 3
Vamos identificar os limites para cada variável:
-
Para
: O menor valor de é 0 (pelo plano ), e o maior valor é dado pela equação do plano . Então, vai de 0 até . -
Para
: Em , a equação do plano fica . Como , então vai de 1 até . -
Para
: Pelo plano , começa em 1. E, quando e , (pois , então ). Portanto, vai de 1 até 27.
Passo 4
Agora que temos os limites, vamos montar a integral tripla:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em
primeiro:
Passo 6
Substituindo de volta na integral:
Passo 7
Agora, vamos integrar em
:
Primeiro, fazemos uma substituição
, então
. Quando
,
; e quando
,
.
A integral fica:
Integrando
:
Passo 8
Agora, integramos em
:
Fazendo a substituição
,
. Quando
,
; e quando
,
.
A integral fica:
Integrando
:
Passo 9
Calculando a fração:
Mas vamos simplificar a fração:
Resposta
A integral tripla
vale
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral
onde B é o semicírculo
y
e
.
Calcule a integral
onde E é a região delimitada pelo paraboloide
e pelo plano
.
Calcule o volume do sólido delimitado pela superfície (ver figura)
pelos planos
e
.
Figura 1: Superfície
Faça um esboço do gráfico da equação dada.